Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Приложения к теории вихрей.20. Совокупности траекторий, которые мы рассматривали до сих пор, являлись лишь воображаемыми объектами. Имеется, однако, случай, когда подобные совокупности существуют реально. Это — случай совершенной жидкости, находящейся под Действием сил, имеющих лиловую функцию
здесь символами Будем считать, что ряд связаны данным заранее соотношением, что наверное имеет место, если процесс протекает изотермически. Рассматривая некоторое определенное движение жидкости, мы можем считать
мы видим, что каждая частица ведет себя как материальная точка массы 1, помещенная в силовое поле, зависящее от силовой функции Здесь мы встречаемся с конкретным осуществлением бесконечной совокупности траекторий подвижной точки, подверженной действию данных сил. Заметим, что член — 21. Траектория каждой частицы может рассматриваться как частное решение системы диференциальных уравнений:
значит, если рассматривать непрерывную замкнутую последовательность частиц жидкости (взятых, каждая, в какой-нибудь момент времени), то интеграл
взятый вдоль этой последовательности, не будет менять значения при смещении каждой частицы по ее траектории. В выражении (4) положено
В частности, если взять замкнутую последовательность частиц, рассматриваемых в некоторый — один и тот же для всех данных частиц — момент времени 22. Взглянем теперь на эти вещи с несколько иной точки зрения. Попрежнему будем рассматривать некоторое определенное движение жидкой массы; при этом компоненты
где предполагается, что
будет, очевидно, относительным интегральным инвариантом для этой новой системы диференциальных уравнений. Преобразуя его в двойной интеграл, мы получим абсолютный интегральный инвариант системы (6). Составляя выражение
Правая часть линейна относительно следующих шести выражений:
Простое вычисление, являющееся, по существу, лишь применением формулы Стокса, дает для коэфициентов первых трех членов следующие выражения:
Это — компоненты вихря. Чтобы вычислить остальные три козфициента, воспользуемся следующим замечанием. Так как выражение со инвариантно в силу уравнений (6), то уравнения, полученные приравниванием нулю коэфициентов при
Уравнения, о которых шла речь, суть:
Запйсав, что они являются следствиями уравнений (6), получим:
Следовательно, искомый двумерный интегральный инвариант имеет
Будучи распространен на площадь, образованную частицами, взятыми в один и тот же момент времени 23. Выражение
записываем, что он равен выражению, найденному выше,
и получаем уравнение
представляющее собою не что иное, как первое уравнение гидродинамики-, действительно, левая часть представляет собою развернутое выражение для Этот результат напоминает нам, что интеграл 24. Уравнения (7), которые также могут быть записаны в виде
являются следствием системы (6), но не эквивалентны ей; иными словами, уравнения (6) траекторий не являются единственными, допускающими интегральный инвариант
очевидным следствием которкх является система (7). Решениями системы (9) определяются кривые, называемые линиями вихря. Тот факт, что диференциальные уравнения траекторий и диференциальные уравнения вихревых линий допускают один и тот же интегральный инвариант, приведет нас к основным теоремам теории вихрей. Действительно, элементарное смещение
вдоль соответствующих им траекторий, первые два до момента времени 25. Рассмотрим в момент времени
как относительно диференциальных уравнений траекторий, так и относительно диференциальных уравнений вихревых линий. Впрочем, мы получим все эти результаты как частный случай одной весьма общей теоремы о диференциальных формах, инвариантных одновременно относительно нескольких систем диференциальных уравнений. Ясно, что во всем предшествующем существенно предположение о том, что
|
1 |
Оглавление
|