Приведение некоторых диференциальных уравнений к уравнению в частных производных первого порядка.

152. Теперь можно стать на точку зрения, противоположную той, которая проведена в предыдущих пунктах.

Возьмем сначала уравнение Пфаффа с четным числом переменных, но предположим, что только коэфициентов отличны от нуля:

Это уравнение Пфаффа будет, очевидно, иметь ту же характеристик ческую систему, что уравнение в частных производных первого порядка, содержащее независимых переменных которое получится, если положить

и исключить из этих уравнений. Нужно, конечно, заранее предположить, что исключение возможно и приводит к единственному соотношению.

153. Рассмотрим, далее, систему диференциальных уравнений, допускающую линейный относительный интегральный инвариант где форма зависит от переменных, не равно нулю. Рассматриваемые диференциальные уравнения образуют характеристическую систему формы . Их интегрирование может быть сведено к интегрированию одного уравнения в частных производных первого порядка, не содержащего явно неизвестной функции, если только в выражении часть коэфициентов при диференциалах (именно ) равна нулю, т. е. если

Действительно, рассмотрим уравнение Пфаффа

и положим

исключая из этих уравнений, приходим к соотношению

т. е. как раз к тому уравнению в частных производных, о котором шла речь. Диференциальные уравнения характеристик этого уравнения состоят из характеристических уравнений формы , к которым прибавлено соотношение

Нетрудно отдать себе отчет в том, что метод интегрирования характеристических уравнений формы , указанный в главе XII, приводит к тем же вычислениям, что и разыскание характеристик уравнения в частных производных (12).

Интегральному инварианту динамики где

соответствует в качестве уравнения (12) уравнение Якоби:

154. Таким образом, метод Якоби интегрирования уравнений динамики основывается на тождестве двух проблем интегрирования: проблемы интегрирования характеристической системы линейного относительного интегрального инварианта и проблемы интегрирования уравнений характеристик уравнения в частных производных первого порядка, допускающего бесконечно малое преобразование (например, не содержащего явно неизвестной функции). В обоих случаях характер проблемы определяется существованием интегрального инварианта

Этот метод приведения к уравнению в частных производных первого порядка удается лишь в том случае, если форма с переменными имеет коэфициентов, равных нулю. Но не следует думать, что в случае, когда эта особенность не имеет места, интегрирование характеристических уравнений формы представляет более трудную проблему, чем разыскание характеристик уравнения в частных производных первого порядка, не содержащего явно неизвестной функции, или, что в сущности то же, чем интегрирование канонической системы диференциальных уравнений. В сущности, важность канонических уравнений связана единственно с тем их свойством, что они допускают интегральный инвариант а вовсе не с простым видом; существование интегрального инварианта является основным свойством, из которого вытекают все остальные.