Диференциальные уравнения, допускающие бесконечно малое преобразование.

98. В предыдущих примерах мы предполагали, что известен интегральный инвариант. Предположим теперь, что известно только инвариантное уравнение, например:

Назвать уравнение инвариантным, это значит утверждать, что оно может быть записано с помощью первых интегралов данной системы диференциальных уравнений и их диференциалов. Иными словами,

причем зависят только от произвольная функция. Заменим неопределенный символ диференцирования символом бесконечно малого преобразования Непосредственно получим;

и выражение в правой части представляет собою, очевидно, инвариантную линейную форму.

Если известны: бесконечно малое преобразование допускаемое данной системой диференциальных уравнений, и пфаффово уравнение со инвариантное для этой системы, то непосредственно получается линейный интегральный инвариант

Допустим, например, что имеем дело с одним обыкновенным диференциальным уравнением

оно инвариантно по отношению к самому себе; следовательно, если оно допускает бесконечно малое преобразование

то оно тем самым допускает линейную инвариантную форму

Так как здесь имеется только один первый интеграл, то эта форма необходимо является полным диференциалом. Иными словами, мы нашли интегрирующий множитель уравнения. Это — классический результат.

Большинство диференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, могут быть связаны с предыдущим замечанием. Так обстоит дело в случае уравнений

Последнее из этих уравнений, например, не меняется при умножении х и у на один и тот же постоянный множитель значит, оно допускает бесконечно малое преобразование

следовательно, выражение

является полным диференциалом. Это становится очевидным, если положить

потому что при этом наше выражение принимает вид

Интегрирование этого диференциала приводит к тем же выкладкам, что и классический метод интегрирования однородных уравнений.

99. Если, наконец, относительно данной системы диференциальных уравнений a priori ничего не известно, то знание бесконечно малого преобразования, допускаемого этой системой, дает возможность найти ее инвариантную пфаффову систему. В самом деле, будем искать все

пфаффовы уравнения которые являются следствием данных диференциальных уравнений и для которых, кроме того, Если положим

то коэфициенты должны будут удовлетворять условиям

Совокупность искомых уравнений образует, таким образом, систему Пфаффа, которая получится в результате приравнивания нулю всех определителей третьего порядка матрицы

Эта система имеет значение, не зависящее от выбора переменных. Если в качестве переменных взять первых интегралов и какую-нибудь переменную, например то уравнения примут вид:

Значит, рассматриваемая система Пфаффа инвариантна, кроме того она, очевидно, вполне интегрируема, потому что сводится к системе обыкновенных уравнений (в переменных Так, например, если система

допускает бесконечно малое преобразование

то уравнение в полных диференциалах

будет вполне интегрируемо. Интегрируя его, получим первый интеграл данной системы. Приравнивая, наконец, этот первый интеграл постоянной, получим обыкновенное диференциальное уравнение, притом допускающее известное бесконечно малое преобразование; такое уравнение интегрируется квадратурой.