Относительные интегральные инварианты. Функция Гамильтона.

32. Часть предыдущих результатов распространяется и на относительные интегральные инварианты. Так, например, линейный интегральный инвариант динамики, введенный Пуанкаре,

не меняющий своего значения при перемещении каждого состояния вдоль соответствующей траектории от момента до некоторого иного момента равняется интегралу

Любой относительный интегральный инвариант может быть преобразован так, что в подинтегральное выражение войдут лишьпервые интегралы и их диференциалы; этот преобразованный интеграл сохраняет инвариантный характер, если его распространить на любую замкнутую область, состоящую из одновременных или неодновременных состояний.

Но если в полученных таким образом выражениях заменить первые интегралы их выражениями через зависимые и независимую переменные, то под знаком интеграла получится форма; которую нельзя получить из формы F с помощью рассмотренного выше приема. Действительно, хотя равенство

сохраняет силу для любой замкнутой области интегрирования, состоящей из одновременных точек, но отсюда не следует почленного равенства подинтегральных выражений, а потому не будет, вообще говоря, иметь места тождество

необходимое для вывода соотношения, аналогичного формуле (3):

Так, например, в простейшем случае о гной свободной материальной точки элемент

находящийся под знаком линейного интегрального инварианта Пуанкаре, привел бы притаком вычислении к форме

которая не является элементом интегрирования полного интегрального инварианта, и разность между нею и формой

не является полным диференциалом.

Нужно заметить, что трудность, возникающая здесь в связи с переходом от относительного интегрального инварианта в смысле Пуанкаре к полному интегральному инварианту, не имеет большого практического значения, потому что всякий относительный интегральный инвариант может быть приведен к абсолютному. В самом деле, мы знаем, что интеграл, взятый по замкнутому контуру, по замкнутой поверхности и т. д. может быть преобразован в интеграл, распространенный на поверхность, ограниченную данным замкнутым контуром, на объем, ограниченный данной замкнутой поверхностью и т. д.

33. Несколько примеров пояснят предыдущие рассуждения.

Рассмотрим снова полный линейный интегральный инвариант динамики, т. е. тензор "количество движения—энергии"

Имеем равенство

в котором предполагается, что замкнутый контур состоит из тех же состояний, которые составляли но смещенных вдоль их траекторий до момента Можно также считать интеграл в правой части равенства распространенным на тот же контур что и левый интеграл, но при условии, что рассматриваются как функции . С этой точки зрения оба выражения

дающие тот же самый интеграл вдоль любого замкнутого контура, могут отличаться друг от друга только на полный диференциал; следовательно,

Функцию обычно называют функцией Гамильтона; она имеет весьма простой физический смысл. Если мы обратимся к формуле (10) главы I, дающей вариацию действия вдоль переменной траектории, то увидим, что функция может быть истолкована как выражение действия между моментами времени и 4 вдоль траектории, оканчивающейся в точке

С точки зрения исторической эта функция введенная впервые Гамильтоном, представляет собой известную ценность, так как

замечания Гамильтона относительно нее указали Якоби путь к открытиям, связанным с интегрированием уравнений динамики. Действительно, Гамильтон замечает, что если бы удалось выразить не как функцию а через то тем самым были бы проинтегрированы уравнения движения. Тождество (4), представленное в форме

дало бы, в самом деле:

Вторая группа уравнений дала бы как функции от и от начальных значений; первая группа дала бы количества движения Наконец, последнее уравнение показывает, что функция является решением уравнения в частных производных

При этом главную трудность представляло не столько само интегрирование этого уравнения в частных производных, сколько разыскание именно такого решения, для которого произвольные постоянные были бы как раз начальными значениями величин Якоби устранил трудность, показав, что и без этого условия можно использовать решение уравнения в частных производных (6) для интегрирования уравнений движения; мы уже изложили это, вкратце, в п. 14.

34. Весьма поучительно провести фактическое вычисление Гамильтоновой функции в каком-нибудь простом случае, например, в случае свободной материальной точки массы 1, не находящейся под действием сил. Уравнения движения имеют в этом случае вид:

Разность

равна здесь

отсюда, учитывая, что должно обращаться в нуль одновременно с получаем

Выражая через получим

Используя гамильтоновы формулы (5), можем вывести отсюда уравнения движения: