Использование известных интегралов.

141. Случай, когда известны независимых первых интегралов находящихся попарно в инволюции. В этом случае из рассуждений главы вытекает, что если связать диференциалы соотношениями

то ранг формы сведется к Характеристическая система уравнения (1), в предположении, что переменные связаны соотношениями

будет, стало быть, ранга и ее интегрирование потребует операций порядка

а также диференцирований.

В указанном случае ранг характеристической системы сразу уменьшается на максимальное число 20 единиц.

142. Случай, когда не все данные первые интегралы находятся попарно в инволюции. Здесь уменьшение ранга характеристической системы, когда данные первые интегралы приравниваются постоянным, не достигает наибольшего возможного числа Но зато можно определить абсолютный линейный интегральный инвариант характеристических уравнений, что в некоторых случаях позволяет продвинуть решение проблемы интегрирования значительно дальше, чем в первом случае, который может казаться самым благоприятным.

Действительно, предположим, что и -два первых интеграла характеристических уравнений, не находящиеся в инволюции; будем иметь

где коэфициент А отличен от нуля. Существует бесконечное множество функций (неизвестных), таких, что форма

будет инвариантной, т. е. будет выражаться через первые интегралы характеристических уравнений и их диференциалы. Для такой формы имеем

и, следовательно,

Путем сравнения получим

Обе формы в прямых скобках, очевидно, инвариантны; следовательно, будет первым интегралом; значит,

ест инвариантная форма. Этот результат нам и нужно было получить.

Если известны два первых интеграла таких, что функция А, определенная равенством

отлична от нуля, то линейная форма будет абсолютной инвариантной формой.

Заметим, кроме того, что переменными в наименьшем числе, с помощью которых может быть выражена форма будут, очевидно, первых интегралов данных характеристических уравнений; характеристическая система формы тождественна с характеристической системой уравнения (1), следовательно, имеет нечетный ранг. Итак, форма первого типа.

143. Предыдущую теорему можно связать с методом интегрирования, допускающим весьма широкое обобщение и состоящим в интегрировании характеристических уравнений формы где некоторая вспомогательная переменная. Ясно, что всякому решению этой системы будет соответствовать решение характеристической системы уравнения именно то, которое получится при исключении вспомогательной переменной и из соотношений, определяющих это решение.

Очевидно, форма второго типа; общий метод интегрирования ее характеристической системы, изложенный в п. 129, не будет отличаться от изложенного в п. 138 применительно к характеристической системе уравнения Значит, если об интегралах a priori ничего не известно, то изучение формы вместо уравнения никакой выгоды не принесет. Но если a priori известны первые интегралы характеристической системы, то преимущество исследования формы становится очевидным, потому что к интегрированию характеристической системы этой формы можно приложить метод, изложенный в п. 135. В частности, если известны два первых интеграла характеристической системы уравнения то

и вычисление скобок определенных (п. 133) соотношением

дает, если развернуть обе части и приравнять члены, содержащие

где -выражение, определенное в предыдущем пункте. Можно продолжать применение общего метода, сохраняя вспомогательную переменную и, составляя выражение далее, составляя скобки этого выражения с Можно также использовать то обстоятельство, что является первым интегралом характеристической системы формы значит, форма сама является инвариантной.