Первый метод Якоби.

151. Первый метод Якоби интегрирования уравнений в частных производных первого порядка связан с только что изложенными соображениями. Якоби сводит произвольное уравнение (4) к уравнению, не содержащему явно неизвестной функции, именно

Диференциальные уравнения, которые нужно проинтегрировать, являются характеристическими уравнениями абсолютной инвариантной формы

где положено

при этом переменных этой формы связаны соотношением (4); эти диференциальные уравнения допускают относительный интегральный инвариант

поэтому прежде всего нужно проинтегрировать характеристические уравнения этого инварианта (что делается по методу, изложенному в главе XII).

Метод Якоби приближается к методу, указанному в п. 143, с той разницей, что последний использует интеграл (11) как абсолютный интегральный инвариант; в методе же Якоби он используется как относительный интегральный инвариант. Впрочем, метод Якоби приводит к операциям порядка

вместо

Его преимущество состоит в том, что он позволяет использовать все первые интегралы, полученные в результате применения теоремы Пуассона-Якоби. Но это же преимущество сохраняется и при методе п. 143, который полностью использует данные первые интегралы.