Случай, когда постоянные площадей все равны нулю.

183. В изложенной теории существенно предполагается, что Изучим теперь движение такого рода, когда все три постоянные площадей равны нулю. В этом случае приходится предположить, что 18 величин

связаны не только соотношениями

но еще и следующими:

Нетрудно видеть, что плоскость треугольника, вершинами которого служат три тела, при этом не меняется, потому что компоненты трех скоростей, нормальные к этой плоскости, все равны нулю, по крайней мере тогда, когда тела не лежат на одной прямой.

Поэтому мы можем положить все и равными нулю, и между двенадцатью величинами остаются пять соотношений:

Значит, всего имеются 7 зависимых переменных и одна независимая (время). Но — форма четного ранга, поэтому ее ранг не может равняться числу диференциальных уравнений движения. Характеристическая система формы не совпадает с системой диференциальных уравнений движения. у

Мы имеем дцесь три бесконечно малых преобразования удовлетворяющих условиям:

Семь урарений движения можно представить в виде системы Пфаффа:

причем можно положить

Форма представляющая собой линейную комбинацию наверное не содержит потому что в противном случае форма не была бы тождественным нулем. Значит, характеристической системой формы является вполне интегрируемая система

Она дает движение трех тел независимо от расположения треугольника трех тел по отношению к их центру тяжести. Если эта система проинтегрирована, то положение треугольника по отношению к центру тяжести находится квадратурой. Действительно,

соотношение обеспечивает инвариантность формы по отношению к диференциальному уравнению

Вернемся теперь к форме ранга 6. Ее характеристическая система допускает два бесконечно малых преобразования и порождающие, в свою очередь, две линейные инвариантные формы: которую мы обозначим которую мы обозначим . Мы предположим — это не уменьшит общности, — что для каждой из форм имеют место соотношения со Вычисление, подобное тому, которое было проведено в общем случае, дает

где форма четвертого ранга, построенная с помощью

Как мы уже видели, следовательно,

Таким образом, представляет собой точную производную; поэтому она допускает в качестве характеристической системы уравнения

Эта система интегрируется с помощью операций порядка

В итоге уравнения движения будут даны операциями порядка 4 и 2 и двумя квадратурами.

Заметим, что форма играющая роль относительного инварианта системы (7), согласно выражению (1) формы равна

Систему (7) легко интерпретировать: она дает движение трех тел относительно подвижной системы референции, которая по определенному закону соответствует каждому состоянию трех тел, причем начало отсчета времени может и не быть фиксированным. Так, например, в качестве подвижного начала отсчета времени можно взять текущий момент, а единицу длины выбрать так, чтобы энергия имела данное фиксированное числовое значение. Уравнения системы получатся из формы если в нее ввести подвижные координаты: при сделанных нами предположениях ее, очевидно, можно заменить формой

Здесь количества движения трех тел образуют систему векторов, эквивалентную нулю. Значит, количество движения тела можно рассматривать как равнодействующую векторов направленных по сторонам причем положительным направлением должно быть принято направление Тогда, обозначая через три стороны треугольника, имеем

Далее, имеем

Значит, уравнения относительного движения будут иметь вид