Построение характеристической системы для системы Пфаффа.

104. Изложенным выше рассуждениям можно придать иную форму, поставив следующую задачу: найти общий прием, который позволил бы по данной системе (1) построить ее характеристическую пфаффову систему.

Чтобы система (1) была инвариантна по отношению к диференциальным уравнениям

необходимо и достаточно, чтобы уравнения (1) могли быть выражены с помощью первых интегралов системы (4) и их диференциалов. Следовательно, прежде всего необходимо, чтобы обращались в нуль при учете соотношений (4); далее, нужно, чтобы формы

могли быть выражены через диференциалы первых интегралов системы (4); иными словами, необходимо, чтобы система, ассоциированная по отношению к формам

была следствием уравнений (4).

Обратно, если это условие выполнено и если суть первые интегралы системы (4), то уравнения (1) можно привести к виду:

так как форма не должна вводить то все производные будут равны нулю; следовательно, уравнения (1) можно будет записать так, чтобы в них вошли исключительно первые интегралы системы (4) и их диференциалы. Значит, система (1) действительно инвариантна по отношению к уравнениям (4).

Из этого следует, что характеристическая система уравнений (1) представляет собою не что иное, как систему, ассоциированную с формами

В частности, для полной интегрируемости системы необходимо и достаточно, чтобы эта ассоциированная система совпадала с системой (1), т. е. чтобы формы

тождественно равнялись нулю.

106. Уравнения системы, характеристической для системы (1), можно представить и в такой форме:

В частности, характеристическая система единственного пфаффова уравнения

дается уравнениями:

где положено

В дальнейшем мы еще вернемся к этой системе (в главе XIV).