Замечания о характере важнейших приложений метода Якоби.

155. Большинство плодотворных приложений метода Якоби в динамике фактически связано с упрощениями, возможными при разыскании полного интеграла уравнения в частных производных Якоби, левая часть которого имеет вид суммы функций, содержащих, каждая, лишь часть переменных отличных от Но эти упрощения можно обнаружить и независимо от теории уравнений в частных производных первого порядка и полного интеграла.

Пусть, в самом деле, — линейная диференциальная форма от переменных, которые мы обозначим

Предположим, что может быть представлена как сумма членов,

каждый из которых содержит некоторое число переменных X и переменную причем переменные входящие в две какие-нибудь из форм различны; следовательно,

Если предположить, что внешняя квадратичная форма имеет ранг то необходимо, чтобы формы имели, соответственно, ранг Приведение всех этих форм к каноническому риду влечет за собой приведение к каноническому виду формы . Следовательно, интегрирование характеристической системы формы сводится к интегрированию характеристических систем форм соответствующих проблем могут быть решены независимо друг от друга.

Еще большее упрощение будет иметь место в том случае, если число переменных (различное для различных форм которые входят, вместе с в состав этих форм, не всегда будет четным. В этом случае переменная будет первым интегралом характеристических уравнений формы ; действительно, если дать произвольное постоянное значение, то ранг квадратичной формы сведется к

но равно сумме всех значит, при постоянном ранг будет меньше что и требовалось доказать. Кроме того, мы видим, что могут быть только два нечетных числа среди и приведение к нормальной форме, если положить равным постоянной, дается путем приведения к нормальным формам , если в этих последних также положить