Случай, когда постоянная живых сил равна нулю.

184. В изложенных рассуждениях неявно предполагается, что постоянная живых сил отлична от нуля. Если мы предположим, что она равна нулю, то переменные будут связаны еще одним соотношением, именно

Остаются только шесть зависимых и одна независимая переменная. Инвариантная форма будет здесь тождественно равна нулю, равно как и форма

Система уравнений движения может быть приведена к виду

причем можно считать :

Форма выраженная через очевидно, не содержит ни ни Положим, наконец,

и Тогда будем иметь

Форма второго типа, и уравнения

образуют вполне интегрируемую систему, характеристическую по отношению к уравнению Эта система определяет движение трех тел относительно подвижной системы референции, причем начало отсчета времени может быть переменным. Здесь можно, например, в качестве единицы длины взять сторону треугольника. Уравнения, которые нужно проинтегрировать, составят тогда характеристическую систему пфаффова уравнения

причем величины будут связаны соотношением:

Полагая

придем к интегрированию уравнения в частных производных первого порядка:

Если это уравнение проинтегрировано, то путем диференцирований можно получить общее решение характеристической системы формы , потому что, приведя найдем диференцированиями первые интегралы системы

Но уравнения движения не будут еще полностью проинтегрированы; остается проинтегрировать уравнения

Они образуют систему диференциальных уравнений, допускающих два бесконечно малых преобразования причем матрица

уже приведена к нормальному виду

Но так как, с другой стороны, преобразования переместительны, потому что

то получим

Значит, интегрирование осуществляется с помощью двух независимых квадратур; одна дает положение треугольника другая — время.