Преобразование канонических уравнений. Теорема Якоби.

14. Важным применением предыдущих исследований является приложение их к преобразованию канонических уравнений и к методу Якоби интегрирования уравнений динамики.

Интеграл взятый по замкнутому контуру, очевидно, не изменяется, если к прибавить любой полный диференциал; обратно, если интеграл от какой-нибудь другой линейной диференциальной формы взятый по любому замкнутому контуру, равен соответствующему интегралу, от то отличается от только на полный диференциал.

Предположим теперь, что можно найти новых переменных и одну функцию К так, чтобы два выражения

отличались только на полный диференциал. Диференциальные уравнения движения характеризуются свойством допускать интегральный инвариант и, следовательно, их можно записать в виде:

т. е. каноническая форма уравнений сохраняется.

Принятое предположение выражается тождеством вида

Подобное тождество нетрудно осуществить. В самом деле, будем исходить из произвольной функции V от аргументов и положим

Если эти уравнения определяют замену переменных, т. е. если первых уравнений разрешимы относительно то последующих дают последнее же определяет функцию К, и при вновь полученных переменных сохраняется каноническая форма уравнений механики. Важно заметить, что если уравнения (20) разрешимы относительно то, обратно, они разрешимы относительно действительно, в обоих случаях условие разрешимости состоит в том, чтобы определитель

не был тождественно равен нулю.

Полученное из тождества (19) решение не есть наиболее общее решение вопроса; действительно, оно не обнимает случаев, когда величин связаны одним или несколькими соотношениями; эти особые случаи легко, впрочем, исследовать непосредственно, задавая a priori соотношения, связывающие

15. Предыдущая общая теория становится особенно интересной с точки зрения приложений в двух случаях.

Первый случай — когда функция К тождественно равна нулю. Канонические уравнения тогда принимают вид:

уравнения траекторий обращаются в следующие:

где и суть произвольных постоянных. Согласно уравнениям (20), для того, чтобы этот случай имел место, достаточно найти функцию

удовлетворяющую уравнению с частными производными

если эта функция V, в которую входит произвольных постоянных такова, что определитель

не равен тождественно нулю, то уравнения движения имеют вид:

это — теорема Якоби. Условие, относящееся к детерминанту, указывает, что функция V есть полный интеграл уравнения с частными производными первого порядка (21) (уравнения Якоби).

Второе приложение, на которое следует указать, относится к теории возмущений. Предположим, что функция есть сумма двух членов из которых второй очень мал сравнительно с первым; это сводится к тому, что данные силы можно разделить на две группы, из которых одна, незначительная по сравнению с другой, представляет собою то, что обычно называют возмущающими силами. Метод, применяемый в этом случае в небесной механике, состоит в отыскании полного интеграла V уравнения Якоби в которое входит только главный член функции новых переменных которые таким образом вводятся, были бы постоянными, если бы не было возмущающих сил; следовательно, это — параметры траекторий, не подвергшихся возмущению. Введение этих новых переменных сохраняет каноническую форму уравнений с новой функцией т. е. частью относящейся только к возмущающим силам.

Мы не будем сейчас останавливаться на теории канонических уравнений и на теоремах Якоби. В частности, связь, существующая между интегрированием уравнений динамики и интегрированием уравнений с частными производными первого порядка, не содержащими явно неизвестной функции, предстанет в новом свете, когда мы покажем, что всякому уравнению с частными производными этого рода — или, вообше, всякому уравнению с частными производными первого порядка, допускающему известное бесконечно малое преобразование — можно поставить в соответствие линейный интегральный инвариант.