Внешние формы и полные диференциалы.

76. Вот важная теорема:

Производная от производной любой внешней диференциальной формы тождественно равна нулю.,

В самом деле, возьмем в какой-нибудь член, например,

ему в соответствует член

Если а зависит только от то этот последний член равен нулю; значит, равна нулю и его производная. Если, напротив, а не зависит от то путем замены переменных можно сделать а равным производная члена

будет тогда нулем, потому что его коэфициент равен единице, и этот член ничего не лает при составлении производной формы. Справедлива и обратная теорема, именно:

Если производная некоторой диференциальной формы равна нулю, то форму можно рассматривать как производную другой формы степень которой на единицу ниже степени

Для доказательства мы используем следующую лемму, которая, впрочем, пригодится нам и в других случаях.

Если производная некоторой формы равна нулю, и если эта форма не содержит диференциала то все ее коэфициенты не зависят от

Возьмем какой-нибудь член формы например

при диференцировании он дает член

представив его в развернутом виде, получим несколько членов, один из которых будет

Этот член не может сократиться ни с одним из членов производной формы, потому что ни один из членов формы не содержит Но поэтому необходимо должно быть

Итак, лемма доказана; возвращаемся к нашей теореме. Обозначим через то, во что обратится если положить Производная от очевидно, равна нулю, если равна нулю производная от Предположим теперь, что теорема доказана для переменных; тогда возможно подобрать такую форму построенную с помощью переменных для которой служит производной

После этого сгруппируем в данной форме и в искомой отдельно члены, содержащие и отдельно члены, не содержащие этого диференциала; можно будет написать

Если мы вычислим в члены, содержащие то получим

Форму выберем произвольно, а форму определим из условий;

1° при форма превращается в

таким образом, можно получить квадратурами.

Определенная таким образом форма обладает следующими свойствами:

1° разность пссле приведения подобных членов, не содержит больше

2° она обращается в нуль, если во всех ее коэфициентах положить

Заметим теперь, что производная этой формы (т. е. разности равна нулю и, следовательно, в силу леммы, все ее коэфициенты не зависят от стало быть, она равна нулю тождественно; теорема, таким образом, доказана.

Ход доказательства показывает, что в форме взять произвольно члены, содержащие выбрать произвольно значения при тех членов, которые не содержат но содержат выбрать произвольно значения тех членов, которые не содержат ни ни но содержат т. д.

Впрочем, ясно, что если имеется одно решение проблемы, то все остальные получатся из него путем прибавления к производной произвольной формы (степени на 2 единицы меньшей, чем степень

77. Если представляет собой линейную форму, то. предположение, что ее внешняя производная равна нулю, приводит, в силу предыдущей теоремы, к заключению (уже отмеченному ранее), что форма эта представляет собой полный диференциал. Если -квадратичная форма с тремя переменными

то условие

необходимо и достаточно для того, чтобы была производной от некоторой линейной формы, т. е. для того, чтобы можно было найти три функции удовлетворяющие соотношениям:

Замечание. Если коэфициенты формы однозначны в некоторой области, то и тогда условие не всегда достаточно для того, чтобы обеспечить существование формы однозначной в этой области, для которой служила бы внешней произвоаной. Рассмотрим, например, двумерную область (замкнутую, без границ), образованную точками сферы 2, и пусть -форма второй степени, однозначная в этой области (с коэфициентами, допускающими непрерывные частные производные первого порядка). Производная очевидно, равна нулю. Тем не менее, если бы существовала линейная форма производная от которой была бы равна то, интегрируя дважды вдоль одного и того же большого круга в противоположных напрлвлениях, мы получили бы

причем интеграл был бы распространен на всю поверхность сферы. Предыдущее уравнение дает добавочное условие для того, чтобы могла рассматриваться как точная производная от формы со, однозначной на всей сфере.