Полные системы.

107. Возвратимся к вполне интегрируемой системе (1) и обозначим через систему ее независимых первых интегралов. Выберем произвольно линейных диференциальных форм

независимых между собой и независимых по отношению к формам Любая форма, линейная относительно может быть выражена, и притом единственным образом, в виде линейной функции от . Возьмем теперь неопределенную функцию и рассмотрим ее полный диференциал

его можно выразить линейно через причем коэфициенты будут, очевидно, линейными и однородными функциями от

Пусть

Выражения (числом ) линейно независимы относительно

В силу сказанного, любой первый интеграл вполне интегрируемой системы (1) характеризуется тем, что его диференциал, рассматриваемый как форма, линейная относительно обращается в нуль при единственном условии, что удовлетворяются уравнения (1); иначе говоря, тем, что он (интеграл) обращает в нуль выражения

Система из независимых линейных уравнений в частных производных

допускает, таким образом, независимых решений

Обратно, предположим, что система (8) допускает независимых решений (большего числа она, очевидно, не может допускать). Тождество (7) дает нам

Так как — независимые функции, то правые части уравнений (9) являются независимыми линейными комбинациями форм Значит, система (1) эквивалентна (2); следовательно, она вполне интегрируема.

Условимся говорить, что уравнения (8) образуют полную систему, если они допускают наибольшее возможное число независимых решений. Мы видим, что каждой вполне интегрируемой системе Пфаффа соответствует некоторая полная система, и обратно. Соответствие таково, что если уравнениями пфаффовой системы являются

то уравнениями полной системы будут

108. Нетрудно найти условия того, чтобы данная система линейных уравнений в частных производных первого порядка была полной системой.

Будем исходить из тождества (7) и возьмем внешнюю производную от обеих его частей. Без труда найдем

n ковариантов можно представить как внешние квадратичные формы от пусть

Приравняв в тождестве (10) нулю совокупность членов, содержащих найдем

Обратим внимание на двойственность формул (11) и (12). Предположим теперь, что система (1) вполне интегрируема. Это значит, на основании теоремы Фробениуса, что обращаются в нуль одновременно с иначе говоря, это значит, что

Следовательно, в силу (12), выражения

выражаются линейно только через Обратное предложение очевидно.

Условимся обозначать через выражение Мы видим, что необходимым и достаточным условием полноты системы является следующее: все скобки, образованные из взятых попарно левых частей уравнений системы, должны линейно выражаться через эти левые части.