Глава XII. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ.

Общий метод интегрирования.

119. Рассмотрим пфаффову форму и характеристическую систему относительного интегрального инварианта Это — система, ассоциированная с формой со.

Предположим сначала, что зависит от переменных; тогда характеристическая система формы будет состоять, вообще говоря, из уравнений, так как четного ранга Следовательно, существует, вообще говоря, единственная система диференциальных уравнений, допускающая относительный интегральный инвариант где — произвольная пфаффова форма от переменных.

Этот случай имеет место для интегрального инварианта динамики.

Пусть вообще ранг (или класс) формы . Нетрудно указать метод интегрирования характеристических уравнений формы .

Действительно, пусть один из первых интегралов этой системы (он получен с помощью операции порядка Если связать переменные соотношением т. е. диференциалы — соотношением то ранг понизится, и так как он всегда должен быть четным, то он сведется к Пусть первый интеграф новой характеристической системы; полагая

сведем ранг к и т. д. Значит, с помощью последовательных операций порядка

можно будет найти первых интегралов

таких, что если связать переменные соотношениями

то ранг станет равен нулю. Тогда, поскольку — тождественный нуль, форма будет полным диференциалом; квадратура приводит ее к виду

Функция зависит от постоянных Если теперь отказаться от предположения, что переменные связаны тождественными соотношениями, то, очевидно, получим

и, следовательно,

Форма имеет ранг значит, диференциалы линейно независимы; следовательно, функций образуют систему независимых первых интегралов данных уравнений, интегрирование которых можно, таким образом, считать законченным.

Итак, интегрирование потребовало операций порядка

а также диференцирований.

Замечание I. Функция играет здесь чисто вспомогательную роль; она не является, вообще говоря, первым интегралом характеристической системы инварианта

Замечание II. Полученный результат показывает, что любая внешняя квадратичная форма с внешней производной, равной нулю, может быть приведена к виду

120. Важно отдать себе отчет в неопределенности выбора функций входящих в каноническое представление формы. Равенство

влечет за собой то, что разность

является полным деференциалом Допустим, — и это будет общий случай, — что являются независимыми функциями от тогда не будут связаны никаким соотношением. Выражая V в функции получаем

Эти уравнения, куда входит произвольная функция аргументов, позволяют выразить в функциях от ; действительно, последних дают а затем первых дадут При этом предполагается, что определитель

отличен от нуля.

При этом же условии можно найти переменные у как функции с помощью первых уравнений, а затем получить с помощью последних.

Таким же путем исследуется случай, когда между существует одна или несколько зависимостей.

Совокупность определенных таким образом преобразований над переменными т. е. над интегральными кривыми данной системы,

образует бесконечную группу, которая играет в этой теории ту же роль, что группа преобразований с функциональным определителем, равным 1, в теории множителя Якоби.

121. Возвратимся к интегрированию характеристических уравнений формы . Положим, что каким-либо путем нам удалось найти таких независимыхпервых интегралов что в результате приравнивания их произвольным постоянным ранг формы становится нулем, т. е. становится полным диференциалом. Тогда квадратура, а затем диференцирования дают нам

Легко видеть, что являются первыми интегралами.

Действительно, предположим, что среди функций имеется независимых. В таком случае функции можно будет выразить с помощью из них, которые мы обозначим и с помощью функций Имеем

Характеристическая система формы со включает, согласно предположению, уравнения

В ее состав войдет также уравнение

Значит, ее следствием будет

Отсюда видно, с одной стороны, что являются первыми интегралами, а с другой стороны, что

Окончательно знание - первых интегралов, приравнивание которых произвольным постоянным превращает со в полный диференциал, позволяет закончить интегрирование квадратурой и диференцированиями.

122. На практике может случиться, что разыскиваются не все решения данной системы диференциальных уравнений, но лишь такие, для которых первых интегралов принимают данные числовые значения. В этом случае можно поступать так. Форма со обращается в нуль, если приравнять нулю значит, ее можно (и притом бесконечным числом способов) представить в виде

где -соответственно подобранные линейные формы. Среди этих форм имеется независимых — и между собой и по отношению

к положим, что это Характеристическая система формы со, очевидно, дается уравнениями

Запишем, что внешняя производная от равна нулю:

откуда получим, в частности, помножая внешним образом на

Значит, форма а также формы становятся полными диференциалами, когда принимают определенные числовые значения. Следовательно, искомые решения получатся в результате независимых квадратур

Не следует удивляться, что здесь приходится выполнить квадратур, тогда как при разыскании общего решения достаточно было одной квадратуры. В самом деле, указанных квадратур по существу сводятся к единственной квадратуре

c произвольными параметрами

Изложенный процесс интегрирования использует только инвариантную форму и не вводит форму . Значит, существенно здесь знание абсолютного интегрального инварианта второй степени и свойство форм быть точной производной. Форма (или формы производная которой равна , играет лишь вспомогательную роль.