Глава IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ.

Класс диференциальной формы.

39. Во всей этой главе мы будем рассматривать системы диференциальных уравнений с переменными не выделяя незаг висимой переменной специальным обозначением: это будет одна какая-нибудь из переменных Иными словами, мы будем рассматривать системы диференциальных уравнений вида

Одной из первых проблем, представляющихся в теории интегральных инвариантов, является следующая: узнать, будет ли данная диференциальная форма инвариантной по отношению к данной системе диференциальных уравнений, и — более общая проблема — определить все системы диференциальных уравнений, по отношению к которым данная диференциальная форма является инвариантной формой.

Прежде чем приступить к решению этой проблемы для тех диференциальных форм, которые особенно часто встречаются в приложениях, сделаем несколько общих замечаний; эти замечания приведут нас к теореме исключительной важности.

Для того чтобы форма была инвариантной по отношению к системе (1), необходимо и достаточно, чтобы она могла быть выражена посредством первых интегралов системы (1) и их диференциалов. Следовательно, необходимым условием для того, чтобы данная форма могла быть инвариантной по отношению к некоторой, соответственно подобранной, системе диференциальных уравнений, является возможность выражения этой формы с помощью не более чем функций и их диференциалов.

40. Предположим теперь, что данная форма может быть выражена с помощью величин (функций от и их диференциалов; предположим, кроме того, что она не может быть выражена аналогичным образом с помощью величин в числе меньшем При этих условиях мы докажем следующую теорему:

Для того чтобы система диференциальных уравнений допускала форму в качестве инвариантной формы, необходимо и достаточно, чтобы функции были первыми интегралами этой системы.

Достаточность условия очевидна. Чтобы доказать его необходимость, рассмотрим систему диференциальных уравнений, для которых служит инвариантной формой, и напишем уравнения этой системы, взяв в качестве новых переменных иных независимых величин Пусть будут

уравнения преобразованной системы. Если бы не были все первыми интегралами, то первые знаменателей не были бы одновременно нулями; пусть, например Тогда можно взять в качестве независимой переменной, и форма не будет менять значения, если заменить нулями, далее, функции

— их начальными значениями

рассматриваемыми как первые интегралы системы (2); и, наконец, диференциалы

— диференциалами

Но тогда, поскольку не содержит ни ни их диференциалов, и вновь полученная форма будет зависеть только от и их диференциалов. Иными словами, при этих условиях можно будет найти таких функций от что форма выразится с помощью этих функций и их диференциалов. Но этот результат противоречит сделанному предположению. Число назовем классом формы