Уравнения в частных производных первого порядка, допускающие бесконечно малое преобразование.

149. Если уравнение в частных производных первого порядка

допускает бесконечно малое преобразование над переменными то это значит, что любая система из соотношений, связывающих эти переменных, которая определяет интегральное многообразие, переходит в результате преобразования в другую систему из соотношений, снова определяющих некоторое интегральное многообразие. Значит, при учете уравнения (4), пфаффово уравнение

допускает бесконечно малое преобразование Отсюда немедленно следует что линейная форма

инвариантна по отношению к диференциальным уравнениям характеристик.

Таким образом, знание бесконечно малого преобразования позволяет найти линейный интегральный инвариант уравнений характеристик, а это, в свою очередь, сводит интегрирование данного уравнения, которое было проблемой второго типа и требовало применения операций порядков

к проблеме первого типа, требующей применения операций порядков

150. Классическим примером является случай уравнения (1), не содержащего явно в этом случае очевидно, что из любого решения уравнения можно получить другое решение, прибавляя к первому

произвольное постоянное. Иными словами, данное уравнение допускает бесконечно малое преобразование

Абсолютный интегральный инвариант уравнений характеристик будет иметь вид

Способ интегрирования уравнений этого рода вытекает из теории, изложенной в главе XII. Характеристическими уравнениями формы будут здесь

Если определены первых интегралов, находящихся попарно в инволюции, то интегрирование характеристических уравнений формы сводится к квадратуре, потому что становится полным диференциалом, если приравнять первых интегралов произвольным постоянны.