Внешние формы степени выше второй.

61. Можно представить себе внешние формы какой угодно степени. Естественнее всего к ним приводит рассмотрение полилинейных форм рядов переменных

удовлетворяющих следующему условию: если поменять местами два ряда переменных, то форма изменит только знак. В случае например, это условие имеет следствием то, что каждый член, в котором имеются одинаковые индексы, имеет коэфициентом нуль, а совокупность членов, все три индекса которых различны, например, равны 1, 2, 3, имеет вид:

Система записи, использованная уже выше, приводит здесь к своеобразному умножению, распределительному, но некоммутативному, так как каждый член произведения меняет знак, если в нем переставить пару сомножителей. Имеем, следовательно,

На основе этого можно определить внешнее произведение вида

где суть внешние формы любой степени; степень произведения равняется сумме степеней сомножителей. Произведение необходимо равно нулю, если сумма степеней превышает Легко убедиться, что если в этом произведении поменять местами два множителя, то произведение не изменится, если хотя бы один из этих множителей является формой четной степени; оно меняет только знак, если, оба множителя нечетной степени. Аналогичным путем можно определить сумму произведений такого рода.

В частности, пронзведенйе формы на самое себя равно нулю, если эта форма нечетной степени; в случае четной степени оно может и не равняться нулю. Возьмем, например, квадратичную форму, приведенную к каноническому виду

имеем:

Значит, ранг квадратичной формы равняется удвоенному наибольшему показателю степени, в которую можно возвести форму при условии, что результат (т. е. степень) не должен обращаться в нуль.

Вот простое приложение этих понятий к теории определителей. Пусть

- форма с четырьмя переменными; имеем:

с другой стороны, система, ассоциированная с имеет вид:

Условием того, что форма может быть выражена с помощью меньше чем четырех переменных, является, с одной стороны, равенство нулю квадрата формы т. е.

с другой — равенство нулю определителя системы:

Эти два уравнения эквивалентны, несмотря на кажущееся различие; действительно, можно доказать, что полученный определитель — кососимметрический и четного порядка представляет собою квадрат выражения

62. Всякая внешняя форма степени (равной числу переменных) имеет вид

Можно получить канонические формы, когда степень равна или ним легко притти, используя понятие формы, сопряженной с данной.

Рассмотрим форму степени и обозначим через линейные формы с неопределенными коэфициентами:

Степень внешнего произведения равна стало быть, оно имеет вид

коэфициент является линейным по отношению к каждому ряду коэфициентов кроме того, он кососимметричен; стало быть, ему соответствует внешняя форма степени с переменными это, по определению, и будет форма, сопряженная с

Если подвергнуть переменные и некоторому линейному преобразованию и если одновременно с этим переменные подвергнуть такому линейному преобразованию, чтобы не менялось выражение то, очевидно, выражение сохранится; иными словами, сопряженная форма воспроизводится, умноженная на определитель линейного преобразования, которому подвергаются переменные

Форма, сопряженная, с формой равна, очевидно, сумме сопряженных форм Точно так же форма, сопряженная с где а — числовой множитель, равна . В силу этого, для того, чтобы вычислять формы, сопряженные с любыми данными, достаточно научиться вычислять формы, сопряженные с одночленными формами вида

Используя данное определение, находим

где индексы суть те из индексов которые не встречаются в последовательности эти индексы должны быть расположены в таком порядке, чтобы вся последовательность

была четной.

63. Предположим теперь, что форма степени сопряженная форма будет первой степени; ее всегда можно паедположить равной, например, так что форма всегда может быть приведена к виду

Далее, предположим, что степень равна форма будет второй степени; ее всегда можно представить в виде

следовательно, будем иметь:

Если то сводится к одночленной форме. Например, если

любая форма степени может быть приведена к одному из канонических видов

если то любая форма четвертой степени приводится к одному из следующих видов:

С помощью понятия сопряженной формы можно было бы определить произведение двух форм, сумма степеней которых превосходит это — операция, названная Грассманом регрессивным внешним умножением-, мы нигде ее не используем.

64. Отметим еще несколько приложений внешнего умножения. Пусть будут независимые линейные формы. Уравнение

где некоторая внешняя форма, дает необходимое и достаточное условие того, что обращается в нуль, если переменные связать соотношениями

Действительно, можно сначала привести задачу к случаю, когда Если после этого каждый член содержит по крайней мере одну из переменных то, очевидно, произведение равно нулю. Обратно, если это произведение равно нулю, то любой член содержит в качестве множителя по крайней мере одну из переменных так как в противном случае умножение этого члена на Дало бы отличное от нуля произведение, которое не сократилось бы ни с каким другим.