Уравнения в вариациях.

101. Понятием уравнения в вариациях мы обязаны Пуанкаре; его можно связать с понятием бесконечно малого преобразования.

Рассмотрим систему диференциальных уравнений, которую запишем так:

правые части являются данными функциями от Пусть

какое-нибудь частное решение этой системы. Возьмем бесконечно близкое решение

где обозначает бесконечно малое постоянное, неизвестные функции от Пренебрегая бесконечно малыми второго и высших порядков, получим для определения этих функций уравнения

это и будут уравнения в вариациях относительно рассматриваемого частного решения.

Может случиться, что известно частное решение уравнения в вариациях, независимо от частного решения данной системы, послужившего для составления этих уравнений в вариациях. При этом величины фактически являются определенными функциями от удовлетворяющими уравнениям в частных производных:

В этом случае уравнения данной нам системы допускают, очевидно, бесконечно малое преобразование

действительно, это преобразование может быть выражено уравнениями:

уравнения кривой, полученной из интегральной кривой (9), будут иметь вид

или

это — снова интегральная кривая, потому что функции являются решением уравнения в вариациях.

Вообще каждому решению уравнений (11) соответствует бесконечное множество бесконечно малых преобразований, относительно которых система (8) инвариантна, именно семейство

зависящее от произвольной функции Я.

Предположим, обратно, что известно бесконечно малое преобразование, относительно которого данная система инвариантна. Это преобразование всегда можно представить в форме (12). Интегральная кривая (9) перейдет при этом преобразовании в кривую

или

следовательно, уравнения в вариациях (11) допускают решение

Впрочем, все эти свойства вытекают из того, что уравнения (11) представляют собою лишь соотношение (7) в развернутом виде, при условии, что в коэфициент при равен нулю.