Глава VIII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВНЕШНЕЙ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ.

Характеристическая система внешней диференциальной формы.

78. Результаты предыдущей главы позволяют нам без труда находить характеристическую пфаффову систему данной внешней диференциальной формы.

Для этого заметим, что если инвариантна относительно системы диференциальных уравнений

то ее можно выразить с помощью независимых первых интегралов этой системы и их диференциалов; то же справедливо и относительно ее производной Следовательно, система линейных уравнений (в полных диференциалах), ассоциированная с двумя внешними формами должна быть следствием уравнений

и, следовательно, уравнений (1).

Иначе говоря, для того чтобы система (1) имела в качестве инвариантной формы форму необходимо, чтобы система, ассоциированная с удовлетворялась при замене переменных функциями

Обратно, предположим, что указанное условие выполнено. Раз система, ассоциированная с удовлетворяется в силу уравнений (1), то она останется справедливой и при учете эквивалентной системы (2); следовательно, рассматриваемая как внешняя форма относительно величин может быть выражена только через диференциалы причем ее коэфициенты, которые являются функциями переменных всегда можно выразить через (если Стало быть, будем иметь

Составляя мы видим, что единственный член, содержащий имеет коэфициентом по предположению, может быть выражена с помощью одних диференциалов значит, имеем

следовательно, может быть выражена с помощью одних первых интегралов данной системы и их полных диференциалов; значит, это — инвариантная форма.

Отсюда немедленно следует, что уравнения характеристической системы формы состоят из уравнений системы, ассоциированной с к которым присоединены уравнения системы, ассоциированной с Рассмотрим несколько важных частных случаев. Предположим, что является точной производной, т. е. что . В том случае характеристическая система диференциальной формы совпадает с ее ассоциированной системой.

В качестве приложения разыщем характеристическую систему относительного интегрального инварианта (полного) Это относительный инвариант сводится к абсолютному, именно к но точная производная. Следовательно, характеристическая система относительного интегрального инварианта совпадает с системой, ассоциированной по отношению к производной форме

Именно это обстоятельство имеет место в случае линейного интегрального инварианта динамики

Здесь

Система, ассоциированная с формой имеет вид

т. е. если провести вычисления и заменить символ символом

это — как раз та выкладка, которую мы проделали в главе

Здесь диференциальная форма со — квадратичная. Значит, мы заранее знаем, что число независимых уравнений ассоциированной системы четно-, этим объясняется, что уравнений характеристической системы сводятся к уравнений. Мы получим также объяснение фактов, имеющих место в динамике, в связи с инвариантной формой

Здесь Значит, характеристическая система содержит 4, или 2, или независимых уравнений. Она не может содержать 4 независимых уравнения, потому что форма инвариантна по отношению к диференциальным уравнениям траекторий частиц; значит, число этих уравнений два, или нуль. Оно равно нулю, если в случае невращательного движения. В противном случае можно предвидеть что траектории не будут единственными характеристическими кривыми формы.

80. Последним важным случаем будет тот, когда форма имеет степень, равную Если она инвариантна для некоторой системы диференциальных уравнений, то эта система необходимо будет единственной, потому что пфаффова система, ассоциированная с состоит из независимых уравнений. Для того чтобы система, ассоциированная с содержала не более независимых уравнений, нужно, очевидно, чтобы равнялась нулю. Следовательно, для того чтобы форма степени могла быть инвариантной по отношению к некоторой системе диференциальных уравнений, необходимо и достаточно, чтоб ее производная форма тождественно равнялась нулю.

Хорошую иллюстрацию дает интегральный инвариант кинематики сплошных сред,

В этом случае форма имеет вид

Условие дает здесь

это — условие непрерывности, или закон сохранения материи:

Мы видим, что этот закон сохранения материи может быть выражен равенством нулю производной от формы, определяющей элементарное количество материи.

81. Законы сохранения, или постоянства, той или иной физической величины часто выражаются подобными же условиями. Так, например, закон сохранения силового потока для поля сил выражается с помощью равенства нулю дивергенции этого поля, т. е. равенством

но это и значит, что внешняя производная элементарного силового потока

равна нулю.

Любое магнитное (статическое) поле удовлетворяет этому условию. Электромагнитное поле, определенное с помощью внешней формы

томе удовлетворяет условию Имеем:

Приравнивая нулю четыре коэфициента формы получим классические уравнения электродинамики, которые в векторной символике записываются так:

Рассматривая задачи гидродинамики, мы уже встречались с формой

ее производная равна нулю, потому что сама является производной от линейной формы "количество движения—энергии"; значит, векторы. удовлетворяют тем же условиям, что векторы электрического и магнитного поля. Один из них, вектор вихря, играет роль магнитной силы; другой, векторное произведение вихря и скорости, играет роль электрической силы.

Нужно заметить, что электромагнитное поле (лучше сказать: связанная с ним форма не может быть инвариантным ни для какой системы диференциальных уравнений, потому что вообще говоря, не равна нулю. Исключение возможно лишь в том случае, если магнитное поле перпендикулярно электрическому. Характеристическая система будет при этом определена уравнениями:

которые сводятся к трем. При этом одна из систем диференциальных уравнений, допускающих в качестве инвариантной формы, будет иметь вид

эта система определяет в каждый момент линии магнитного поля. Другая система имеет вид

Если бы магнитное поле равнялось нулю, то характеристические многообразия определялись бы из уравнений:

это были бы эквипотенциальные поверхности, рассматриваемые в данный момент времени