Метод Лагранжа.
147. Метод полного интеграла Лагранжа тоже легко связывается с нашей точкой зрения. Уравнение
определяет полный интеграл, если оно определяет функцию 
удовлетворяющую уравнению (4), каковы бы ни были 
произвольных постоянных 
Уравнение (4) является, впрочем, единственным, которому удовлетворяют все функции 
определенные соотношением (8), потому что исключение 
из уравнения (8) и вытекающих из него уравнений
приводит, вообще говоря (мы будем считать, что именно этот общий случай имеет место), к единственному соотношению, которое, естественно, и будет уравнением (4).
Раз уравнение (4) является результатом исключения 
из 
уравнений (8) и (9), — значит, интегрирование уравнения (4) сводится к решению уравнения Пфаффа (5), в предположении, что 
переменных 
связаны 
соотношениями (8) и (9). Учитывая эти соотношения, получим:
Значит, пфаффово уравнение (5) эквивалентно уравнению
но это последнее само собой приводится к нормальной ферме, если положить
Мы видим, что характеристики определяются уравнениями:
Это — классический результат.
148. Приложим теорему п. 142 к частному случаю одного уравнения с двумя независимыми переменными:
Знание двух независимых первых интегралов 
характеристической системы, если эти интегралы не находятся 8 инволюции, приводит к определению линейного интегрального инварианта характеристической системы. Этот интегральный инвариант равен 
причем А определяется равенством
или, лучше, поскольку здесь предполагается, что переменные связаны соотношением (10), — равенством
Выделив, в частности, члены, содержащие 
найдем:
Значит, если определитель в правой, части этого равенства отличен от нуля, то выражение 
есть инвариантная форма для уравнений характеристик.
