Глава XIX. ПРИНЦИП ФЕРМА И ИНВАРИАНТНОЕ ПФАФФОВО УРАВНЕНИЕ ОПТИКИ.

Принцип Ферма.

196. В предыдущей главе мы рассмотрели интегральный инвариант оптики изотропной среды, предполагая, что показатель преломления не зависит от времени.

Возьмем теперь некоторую среду и рассмотрим распространение в этой среде световых волн, определенное уравнением Монжа (Monge)

однородным относительно Это означает, что волна, порожденная световым сигналом, данным в точке в момент времени будет в момент времени определяться уравнением

Поверхность волны, соответствующей точке (х, у, z), и моменту времени определяется, как известно, уравнением

В подобной среде световой луч определяется тремя функциями от удовлетворяющими уравнению (1) и, кроме того, некоторому дополнительному условию, содержание которого выражается так называемым принципом Ферма. Из всех кривых, удовлетворяющих уравнению (1) или, как говорят, из всех интегральных кривых уравнения Монжа (1), световой луч, вышедший в момент из точки и идущий в точку совпадает с той, по которой он дойдет до этой последней в кратчайшее время Иными словами, световые лучи являются экстремалями проблемы Майера (Mayer), определенной уравнением Монжа (1).

197. Напомним кратко, как с помощью принципа Ферма выводятся диференциальные уравнения, определяющие световые лучи. Представим себе световой луч, выходящий в момент из точки и проходящий через точку в момент времени Если дана какая-нибудь интегральная кривая уравнения (1), бесконечно близкая к световому лучу, то всегда можно предположить, что как для светового луча, так и для интегральной кривой являются функциями параметра и, причем значения этого параметра соответствуют, для светового луча, моментам Пусть будут

функции от и, соответствующие варьированной кривой. Обозначим через х, производные от х, по параметру и. Написав уравнение (1) в виде

и проварьировав его, получим

Помножим левую часть этого уравнения на где А — некоторая, пока неопределенная, функция от и, и проинтегрируем в пределах от О до 1; получим

интегрирование по частям даст:

Если интегральная кривая, соседняя с световым лучом, удовлетворяет начальным и конечным условиям, то будем иметь

следовательно:

Можно выбрать произвольно функции обращающиеся в нуль на концах интервала; распорядимся теперь функцией так, чтобы коэфициент при в подинтегральном выражении тоже стал равен нулю. Для того чтобы равнялось нулю, какова бы ни была варьированная интегральная кривая, необходимо и достаточно, чтобы коэфициенты при в подинтегральном выражении тоже равнялись нулю.

Иными словами, если ввести вспомогательное переменное А, то световые лучи будут даны системой, состоящей ил уравнения (2) и из следующих уравнений:

Если исключить А, то наряду с уравнением (2) получим три уравнения:

к которым следует добазить соотношения:

Непосредственно можно заметить, что, продиференцировав уравнение (2) по присоединив к нему уравнения (4), получим систему четырех линейных уравнений для определения причем полученные значения не будут зависеть от и. Значит, параметр и по существу не войдет в окончательные уравнения, которые имеют вид

здесь определенные функции от однородные второй степени относительно и удовлетворяющие уравнению

Итак, диференциальные уравнения световых лучей, это — обыкновенные диференциальные уравнения первого порядка между величинами причем эти семь величин должны быть связаны соотношением (2).