Приложение к распространению света в изотропной среде.

192. Рассмотрим изотропную среду, показатель преломления которой задан в каждой точке.

На основании принципа Ферма (Fermat) можем утверждать, что световые лучи будут экстремалями интеграла

Вводя вспомогательное переменное приходим к интегралу вида

в котором

Линейный относительный интегральный инвариант характеристиками которого служат лучи света, определяется формулой

которая в нашем случае принимает вид:

или

если через обозначить направляющие косинусы произвольного направления. Значит, форма зависит на самом деле от 5 переменных. Нетрудно составить ее характеристическую систему и показать, что она включает, в частности, уравнения

Направление представляет собой, очевидно, не что иное, как направление касательной к рассматриваемому световому лучу.

193. Тот факт, что интеграл является относительным инвариантом, приводит к следующему свойству пучка световых лучей. Если описать замкнутую кривую окружающую этот пучок, то интеграл в котором обозначает угол между касательной к в точке и касательной к световому лучу, проходящему через этот интеграл не будет зависеть от выбора кривой Нетрудно доказать, что необходимым и достаточным условием того, что все лучи конгруэнции нормальны одной и той же поверхности, будет равенство нулю указанного интеграла для любого пучка лучей, принадлежащих конгруэнции. Это соответствует теореме Малюса в силу которой лучи некоторой конгруэнции, нормальные к одной поверхности, будут нормальны к бесконечному множеству поверхностей. Условием того, чтобы это имело место, является равенство нулю внешней квадратичной формы , или, точнее, равенство нулю билинейной кососимметрической формы в которой представляет собой символ диференцирования по одному из параметров конгруэнции, символ диференцирования по другому параметру.

Световые лучи, распространяющиеся в рассматриваемой среде, зависят от четырех параметров Преобразование этих параметров, переводящее всякую, конгруэнцию, лучи которой нормальны некоторой поверхности, в другую, обладающую тем же свойством, называют преобразованием Малюса. Форма со может быть выражена, как это нам известно, через переменные и их диференциалы. Наиболее общее преобразование Малюса определяется, очевидно, уравнением

где k — некоторая неизвестная функция. Внешнее диференцирование обеих частей равенства дает немедленно

но — форма ранга 4, значит, последнее равенство возможно только в том случае, если если — постоянная. Следовательно, мы разыщем искомые преобразования, если запишем, что линейная форма

представляет собой полный диференциал:

Определим, например, световой луч координатами точки его пересечения с плоскостью и направляющими косинусами касательной в этой точке. Получим

1-й случай. Между нет никакого соотношения. В этом случае V является вполне определенной функцией от имеют место следующие соотношения:

Первые два уравнения дадут Затем вторые два дадут

2-й случай. Существует одно и только одно соотношение между Пусть будет

это соотношение. Обозначив через V произвольную функцию от введя вспомогательный параметр , получим

Два первых уравнения вместе с уравнением дадут и затем два последних дадут

3-й случай. Переменные являются определенными функциями от

тогда V будет функцией от и мы получим

из этих уравнений определяются и

194. Выше мы рассмотрели характерное свойство конгруэнций лучей, для которых инвариантная форма тождественно равна нулю. Инвариантная форма тоже находит себе применение в оптике. В развернутом виде эта форма запишется так:

Возьме, например, все световые лучи, пересекающие данный элемент поверхности касательные к которым в точках пересечения с поверхностью параллельны прямым, лежащим внутри бесконечно узкого конуса с телесным углом Лучи эти зависят от четырех параметров из которых два первые, например, определяют положение точки пересечения луча с элементом а два другие — направление касательной в этой точке. На каждом луче возьмем состояние, характеризуемое соответствующей точкой пересечения (х, у, z) и направляющими косинусами касательной в этой точке Так как три первые величины х, зависят только от двух переменных и то любая внешняя кубическая форма с переменными равна нулю. Поэтому инвариант сводится (с точностью до знака) к

Обозначив через направляющие косинусы нормали к элементу получим

следовательно,

обозначает здесь угол между нормалью к поверхности и (средним) направлением лучей, пересекающих поверхность.

Рассмотрим теперь любую совокупность лучей, зависящую от четырех параметров; на каждом луче возьмем его точку пересечения с некоторой данной поверхностью Все лучи, проходящие через одну и ту же точку поверхности, образуют телесный конус; интегральный инвариант соответствующий этой совокупности, может быть дан формулой

где обозначает элемент поверхности телесный угол элементарного конуса лучей, исходящих из точки поверхности и образующих угол с нормалью к

Возьмем, например, срвокупность всех лучей, пересекающих объем, ограниченный замкнутой поверхностью и на каждом луче возьмем точку, соответствующую выходу луча из объема. Для этой совокупности получим

Но интеграл если в качестве координат взять долготу и дополнение широты до прямого угла на единичной сфере, равен интегралу

распространенному на полусферу т. е. равен . Значит, имеем

Если показатель преломления среды равен 1, то лучи будут прямыми линиями, а интеграл I будет равен произведению на площадь поверхности.

196. В качестве приложения общих методов интегрирования, изложенных в главе XVI, решим задачу о форме световых лучей в изотропной среде с показателем преломления зависящим только от одной из прямолинейных координат, например, от . В этом случае известна инвариантная форма , а также три бесконечно малых преобразования, соответствующих параллельному переносу вдоль параллельному переносу вдоль и вращению вокруг

Форма

инвариантна по отношению к этим преобразованиям; поэтому три инвариантные формы сведутся к

Значит, имеем три первых интеграла

Положим

последнее соотношение показывает, что каждый световой луч лежит в некоторой плоскости, параллельной оси Далее, имеем

Следовательно, уравнения световых лучей имеют вид