Глава XVI. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ДАННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Редукция проблемы.

164. Нам уже приходилось рассматривать диференциальные уравнения, допускающие бесконечно малые преобразования, но при этом всегда предполагалось, что эти уравнения допускают, кроме того, интегральный инвариант, или инвариантное уравнение Пфаффа. Взглянем теперь на все это с более общей точки зрения; этот более широкий взгляд на вещи даст нам новые иллюстрации к теориям, намеченным в предыдущей главе.

Рассмотрим систему из обыкновенных диференциальных уравнений (или вполне интегрируемую систему уравнений Пфаффа)

и предположим, что эта система допускает некоторое числа, бесконечно малых преобразований:

Посмотрим, что дает для интегрирования знание указанных бесконечно малых преобразований. Эта проблема была решена Софусом Ли. Мы ограничимся важнейшими общими замечаниями.

Рассмотрим матрицу выражений которые получаются, если в форме заменить символ неопределенного диференцирования символом бесконечно малого преобразования Предположим, что в этой матрице

детерминант, составленный из первых строк и столбцов, отличен от нуля. Тогда можно заменить левые части уравнений (1) их линейными комбинациями с таким расчетом, чтобы матрица (2) преобразованной системы приняла вид

т. е. чтобы все стали нулями за исключением

Ясно, что, если больше то новые формы еще не вполне определены: формы

можно подвергнуть любому линейному преобразованию, а к каждой из форм можно прибавить любую линейную комбинацию форм

Если бы уравнения (1) были приведены к виду

то ясно, что выражения были бы первыми интегралами, и новые формы , полученные в результате приведения матрицы к каноническому виду, могли бы быть выражены через и их диференциалы. Отсюда (и из того, что было сказано выше) вытекают два следствйя:

1. Если матрица приведена к нормальному виду (3), то пфаффова система

представляет собой инвариантную систему.

2°. Каждая из линейных форм инвариантна с точностью до линейной комбинации из левых частей уравнений предыдущей инвариантной системы.

165. Прежде чем итти дальше, заметим, что если система (1) допускает два бесконечно малых преобразования то она допускает и бесконечно малое преобразование определяемое равенством

Допустим — это не уменьшит общности, — что символы бесконечно малых преобразований, которые получаются при комбинировании данных бесконечно малых преобразований попарно, являются линейными комбинациями выражений Иными словами, положим, что

Докажем, что при этих предположениях пфаффова система (4) вполне интегрируема.

Для доказательства нам придется вернуться к определению билинейного коварианта - линейной формы в случае, которого мы до сих пор не рассматривали, именно, когда два символа диференцирования не переместителъны. Если положить

то будем иметь

или, если условиться писать вместо

Приложим эту формулу к случаю, когда заменены символами тогда символу будет соответствовать выражение

Предположим, наконец, что в качестве берется одна из форм относительно которых, как мы видели, можно предполагать, что они выражены через и их диференциалы. Будем иметь

Но

следовательно, получим соотношение:

Отсюда следует, что коэфициенты равны нулю, если только индексы оба меньше или равны потому что предыдущее соотношение обращается при этом в

Следовательно, внешние производные все равны нулю, если учесть уравнения (4), а отсюда следует, что система (4) вполне интегрируема (п. 102).