Приложение к уравнениям в частных производных первого порядка.
144. Проблема интегрирования характеристической системы уравнения Пфаффа находит себе непосредственное приложение в теории уравнений в частных производных первого порядка. Действительно, интегрировать уравнение
или, употребляя классическую систему обозначений,
— это значит определить 
функций 
от независимых переменных 
удовлетворяющих уравнению (4) и уравнению Пфаффа:
Если представим себе, что один из 
аргументов 
выражен с помощью уравнения (4) через 
других, то пфаффово уравнение (5) будет содержать только 
переменных, а потому его характеристическая система необходимобудет нечетного ранга 
Следовательно, если учесть уравнение (4), то пфаффово уравнение (5) может быть приведено к каноническому виду
где 
суть 
независимых функций; это первые интегралы характеристической системы уравнения (5).
Предположим теперь, что мы умеем привести уравнение (5) к каноническому, виду (6). Интегрирование уравнения (4) сводится, в сущности, к определению 
независимых соотношений [в число которых входит данное соотношение (4)] между переменными 
следствием который было бы уравнение (5); чтобы достигнуть этого, достаточно установить между 
независимых соотношений, следствием которых было бы уравнение (6). Этого можно добиться достаточно общим приемом, положив
где 
произвольная функция 
аргументов. Еще более общий прием состоит в том, что между 
устанавливается некоторое число 
независимых соотношений
и к ним присоединяются соотношения, получаемые в результате исключения однородных параметров 
из 
уравнений:
145. Уравнения
определяют одномерные многообразия, именно, характеристические многообразия уравнения Пфаффа (5) [относительно которого предположено, что переменные связаны соотношением (4)]. Их называют характеристиками уравнения в частных производных (4). Сразу видно, что любая интегральная поверхность представляет собой геометрическое место характеристик.
Нетрудно составить диференциальные уравнения характеристик; в самом деле, они представляют собой уравнения системы, ассоциированной с со, причем предполагается, что диференциалы переменных связаны соотношением 
кроме того, соотношением 
Значит, их можно получить 
присоединяя к уравнению (5) уравнения
которые могут быть записаны в виде
Это — классические уравнения характеристик.
