Глава XVIII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Экстремали, связанные с относительным интегральным инвариантом.

185. Мы видели уже в главе что диференциальные уравнения экстремалей интеграла

совпадают с характеристическими уравнениями относительного интегрального инварианта где форма имеет следующее выражение:

здесь рассматриваются как независимых переменных.

В вариационном исчислении величины являются произвольными функциями их производными. В -мерном пространстве любая экстремаль характеризуется

тем, что интеграл взятый вдоль некоторой дуги этой кривой, стационарен по отношению ко всем бесконечно близким дугам, имеющим те же концы. Но можно рассматривать и -мерное пространство . В этом случае экстремаль характеризуется тем, что интеграл I, взятый вдоль некоторой ее дуги, стационарен по отношению ко всем бесконечно близким кривым, имеющими общими с экстремалью начальные и конечные значения только координат Если стать на последнюю точку зрения, то будут функциями не имеющими a priori никакой связи с производными от по

186. Будем теперь вообще исходить из линейной диференциальной формы от переменных. Предположим, что форма имеет ранг и допустим, наконец, что из коэфициентов при диференциалах в тождественно равны нулю. Тогда можно положить

причем будут функциями от переменных

Характеристики относительного интегрального инварианта , или, что то же, внешней квадратичной формы , даются системой обыкновенных диференциальных уравнений

причем мы буде предполагать, что не является первым интегралом характеристических уравнений.

Рассмотрим теперь в мерном пространстве дугу кривой, идущую от точки к точке и интеграл

Вычислим вариацию этого интеграла при переходе от рассматриваемой дуги кривой к бесконечно близкой, идущей от точки к точке Получим

Если мы хотим, чтобы интеграл был стационарным по отношению ко всем кривым, бесконечно близким к данной, то необходимо, чтобы при перемещениях вдоль данной дуги имело место равенство

каковы бы ни были Иными словами, необходимо, чтобы дуга принадлежала характеристике формы . Значение интеграла будет стационарным по отношению ко всем бесконечно близким дугам

кривых, на концах которых на концах которых будут иметь те же значения, что и у данной дуги.

187. Предположим теперь, что поле кривых, бесконечно близких к данной, состоит лишь из таких кривых, у которых функции от удовлетворяют первым характеристическим уравнениям

Будем считать функции независимыми по отношению к что позволит взять в качестве произвольные функции от Далее, мы будем считать, что начальные и конечные значения варьированных кривых те же, что и у исходной. При этих условиях будем иметь

Нетрудно видеть, что не содержит Действительно, коэфициент при дуг имел бы вид

этот коэфициент необходимо обращается в нуль, если принять во внимание характеристические уравнения (1), следовательно, если учесть уравнения (2); значит, он будет равен нулю при перемещениях вдоль экстремали. Таким образом, в выражение 61 под знаком интеграла входят только диференциалы поэтому коэфициенты при должны равняться нулю. Следовательно, экстремали будут даны характеристическими уравнениями формы .