14.6. Системы дискретных составных фазоманипулированных сигналов

Дискретные составные фазоманипулированные (ДСФ) сигналы рассматривались неоднократно (см., например, [90, 133, 147, 168, 173, 183, 213]). Они образуются при перемножении двух дискретных ФМ сигналов. Если внимательно изучить структуру ДСФ сигналов, то окажется, что ДСФ и ДСЧ сигналы обладают некоторыми общими свойствами, присущими ДЧ сигналам. Эти общие свойства определяются распределением энергии элементов на частотно-временной плоскости, что подробно рассмотрено в гл. 1. Поэтому стало возможным объединить методы исследования, перенеся ряд

результатов из теории ДЧ и ДСЧ сигналов [46, 68] на ДСФ сигналы [39], что и рассмотрено в данном параграфе.

Взаимная функция неопределенности дискретных составных фазоманипулированных сигналов. Допустим, что сигнал состоит из элементов. Под элементом будем понимать последовательность элементарных импульсов. На рис. 14.12, а изображен ДСФ сигнал длительностью состоящий из элементарных прямоугольных видеоимпульсов и элементов.

Рис. 14.12

Для ДСФ сигнала рис. 14.12,a . Длительность элемента Число импульсов в элементе равно Элементы ДСФ сигнала являются ФМ сигналами. В предельном случае, когда элемент совпадает с одиночным импульсом.

Предположим, что для построения ДСФ сигналов используется множество элементов число которых равно Если энергии всех элементов одинаковы и равны то согласно (1.18) (1.20), (1.86) комплексная огибающая взаимной функции неопределенности и элемента равна

Отметим, что при тождественно равна нулю.

Пусть сигнал состоит из элементов, каждый из которых принадлежит множеству Порядок следования элементов в сигнале определяется кодовой последовательностью элементов а номер элемента на позиции принимает одно из возможных значений. В этом случае комплексная огибающая дискретного сигнала записывается следующим образом:

Можно показать, что ВФН ДСФ сигналов с номерами согласно (1.18) будет равна

где

Введем переменную суммирования

После этого ВФН (14.63) можно записать в виде

где компонента ВФН

Формулы (14.66), (14.67) аналогичны формулам (1.119), (1.120) для дискретных сигналов.

Отметим, что компонента ВФН (14.67) тождественно равна нулю вне интервала что иллюстрируется рис. 1.19. Поэтому ВФН (14.66) в полосе равна сумме 1-й и И 1-й компонент, т. е.

При

Выясним характер изменения ВФН в зависимости от номера полосы. Для этого используем ограниченность объема произвольной ВФН (1.31). Согласно оценке (1.39) средний квадрат ВФН (14.66) будет равен

Аналогично, средний квадрат ВФН элементов будет равен

Из формул (14.67), (14.68) следует, что ВФН ДСФ сигнала в каждой точке плоскости за исключением точек равна сумме слагаемых. При эту сумму условно можно рассматривать как случайную величину с дисперсией

Из (14.73) видно, что при малых X дисперсия в два раза превышает средний квадрат (14.71), а по мере роста X, т. е. с удалением от центра плоскости, линейно убывает. Таким образом, появление больших пиков у ВФН более вероятно в полосах с малыми

Полученный результат будет справедлив, если сигналы не содержат одинаковых элементов, т. е. в составе ВФН (14.63) или (14.66), (14.67) нет функций неопределенности, у которых максимальное значение равно единице. Если же сигналы содержат некоторое число одинаковых элементов, то в точках при условии выполнения равенства

появляются центральные пики ФН элементов, вклад которых в (14.67) будет равен

Если предположить, что сумма (14.68) стремится к нормальной случайной величине (нормализуется) и возможно совпадение элементов, т. е. уравнение (14.74) имеет решений, то имеем следующую приближенную оценку максимального пика ВФН:

Множитель 3 был взят потому, что можно допустить малую вероятность превышения боковым пиком уровня, равного утроенному среднеквадратическому значению.

Отметим, что оценки (14.73), (14.75) будут справедливы и для приближенного определения боковых пиков ФН дискретного сигнала Центральный пик будет равен сумме центральных пиков ФН элементов.

Оценки (14.73), (14.75) были получены без конкретизации структуры элементов, т. е. они справедливы как для ДСФ, так и для ДСЧ сигналов. Следовательно, полученные результаты имеют общий характер.

Из формул (14.71) (14.73) следует, что средний квадрат ВФН ДСФ сигналов определяется в основном базой сигналов и практически не зависит от взаимокорреляционных свойств элементов. Однако максимальные значения ВФН (14.75) существенно зависят от элементов и их расположения в сигналах, что определяется числом совпадений

В настоящее время в теории ДЧ сигналов известен ряд регулярных методов (см. § 14.4), позволяющих создавать системы ДЧ сигналов, обладающих заданным числом совпадений, т.е. с заданными максимальными пиками корреляционных функций. Распространим эти методы на ДСФ сигналы.

Автокорреляционная функция ДСФ сигнала. Полагая и отбрасывая индексы из формул (14.66), (14.67) получим АКФ дискретного составного сигнала

где компонента АКФ

Если сигнал состоит из различных элементов, то уравнение (14.74), которое в данном случае записывается как имеет решения лишь при Следовательно, нулевая компонента АКФ равна сумме АКФ элементов, а все остальные компоненты равны сумме ВКФ элементов. Поэтому для уменьшения боковых пиков АКФ сигнала необходимо составлять его из элементов, АКФ и ВКФ которых имеют малые боковые пики. Так же как и в случае ВФН, можно условно считать значение бокового пика АКФ случайной величиной, дисперсия которой определяется формулой (14.73). Согласно (9.73) средний квадрат боковых пиков, усредненный по всем возможным АКФ и ВКФ при данном равен Следовательно, если положить, что то приближенное значение максимального бокового пика АКФ определяется следующим выражением

Для Перейдем к построению ДСФ сигнала.

Возьмем в качестве элементов производные сигналы (см. § 12.2), построенные на основе сигналов Уолша (12.4). Положим Если в качестве производящей последовательности взять нелинейную последовательность в виде то кодовые последовательности производной системы

определяются посимвольным перемножением последовательностей (12.4) и записываются следующим образом:

Системы элементов (12.4), (14.78) обладают равными средними квадратами Такое значение близко к предельному Максимальные боковые пики у производной системы (14.78) равны что не превышает зачения в то время как у системы Уолша Ямакс Коэффициент эксцесса, определяющий максимальные боковые пики, для системы Уолша а для производной системы Чем меньше коэффициент эксцесса, тем меньше максимальные боковые пики. Именно по этой причине в качестве элементов были выбраны кодовые последовательности производной системы (14.78).

Записав последовательно друг за другом строки (14.78), получим кодовую последовательность, которой соответствует ДСФ сигнал, изображенный на рис. 14.12, а. Его АКФ представлена на рис. 14.12, б. Среднеквадратическое значение бокового пика что в 1,55 раз меньше предельного значения (9.73): Максимальный боковой пик равен что меньше как так и

Сигнал (рис. 14.12, а) не является единственным. Элементы — строки (14.78) можно переставить различными способами. Общее число ДСФ сигналов равно числу перестановок Если же производить изменение знака элементов, то получим сигналов. Каждый из таких сигналов с большой вероятностью будет иметь максимальные боковые пики АКФ, приближенно оцениваемые равенством (14.77). Таким образом, сростом максимальные боковые пики АКФ таких сигналов будут уменьшаться в соответствии с (14.77).

Подчеркнем, что выбор элементов имеет большое значение, так как при неудачном выборе максимальные боковые пики могут быть существенно больше значения, определяемого правой частью (14.77). Это объясняется тем, что если АКФ и ВКФ элементов имеют большие боковые пики, то сумма в (14.76) слабо нормализуется. В качестве примера укажем на сигнал, составленный из строк (12.4) при их последовательной записи. АКФ такого сигнала имеет максимальный боковой пик, равный

Конечно, ДСФ сигналы, построенные из элементов, принадлежащих производной системе, не являются минимаксными. Однако

исследование их имеет практическое значение по следующим причинам. Во-первых, ДСФ сигналы с такими АКФ удовлетворяют многим практическим задачам, особенно в тех случаях, когда достаточно велико. Во-вторых, значительно число сигналов. Например, при В-третьих, подобные сигналы позволяют упростить аппаратуру формирования, так как они отличаются только порядком следования элементов. В-четвертых, такие сигналы могут служить первым приближением для поиска минимаксных с помощью ЭВМ.

Взаимокорреляционные функции ДСФ сигналов. Если различные ДСФ сигналы составляются из одинаковых элементов, то уравнение (14.74), по крайней мере, будет иметь одно решение, т. е. в состав ВФН (и конечно, ВКФ) войдет хотя бы одна ФН, дающая значение Определим класс сигналов, который обеспечивает только одно решение уравнения (14.74). Такая задача решена в теории ДЧ сигналов (см. § 14.4). Если уравнение (14.74) заменить сравнением по простому модулю т. е.

то сравнению (14.79) и соответственно уравнению (14.44) будут удовлетворять кодовые последовательности табл. 14.11. Например, для последовательностей второй строки табл. 14.11 имеем

где При этом сравнение (14.80) является сравнением первой степени, которое имеет одно решение. Например, при и из (14.80) получаем четыре кодовые последовательности

Каждая строка в (14.81) — кодовая последовательность элементов. Если сигналы построены из элементов с помощью таких же кодовых последовательностей, то при произвольных временных сдвигах в точках возможно только одно совпадение элементов. Если к тому же элементы ортогональны между собой, то ВКФ в этих точках будет равна В остальных точках будет справедлива оценка (14.77). Поэтому для ВКФ ДСФ сигналов имеем:

Рассмотрим пример. Перенумеруем кодовые последовательности (14.78) сверху вниз и будем использовать первые пять элементов. При этом соответствует первой кодовой последовательности элементов в (14.81), а второй кодовой

последовательности элементов в (14.81). Поэтому кодовая последовательность первого сигнала равна а второго обоих сигналов таких сигналов имеет среднеквадратическое значение которое практически совпадает с предельным значением (9.73). Максимальный боковой пик что меньше и меньше

Приведенный пример показывает, что результаты теории ДЧ сигналов можно использовать в теории ДСФ сигналов.

В заключение отметим, что при построении систем ДСФ сигналов можно допускать больше одного совпадения элементов. Допустим, что сравнение (14.79) имеет решений. В этом случае в некоторой точке будет равна Приравнивая уровни получаем, что можно иметь число решений (совпадений элементов)

Если то нашем примере т. е. можно положить При этом число сигналов будет равно