Помехоустойчивость m-ичных СПИ.

При передаче информации алфавитом сигналов, объем которого и когерентном приеме наибольшую помехоустойчивость обеспечивают симплексные (или равноудаленные, или трансортогональные) сигналы [97]. Такие сигналы обладают интересным свойством. Если произвольный сигнал трактовать как точку в -мерном пространстве, то симплексные сигналы соответствуют вершинам -мерной геометрической фигуры — симплекса. Вершины максимально и одинаково удалены друг от друга, т. е. симплексные сигналы максимально отличаются друг от друга, что является причиной максимальной помехоустойчивости. Из-за максимального отличия по форме коэффициент корреляции таких сигналов, определяемый аналогично общей формуле (1.23) при

не зависит от номеров и равен

При коэффициент корреляции мало отличается от нуля и поэтому ортогональные сигналы, у которых обеспечивают почти такую же помехоустойчивость, что и симплексные сигналы. Если все коэффициенты корреляции равны между собой, т. е. то доказано следующее равенство для вероятности ошибки с равными коэффициентами корреляции [64, 97].

где отношение сигнал/шум, приходящееся на один -ичный сигнал,

длительность -ичного сигнала, вероятность ошибки при отношении сигнал/шум и коффициенте корреляции вероятность ошибки при ортогональных сигналах. Выражение (2.29) показывает, что помехоустойчивость при равнокоррелированных сигналах будет такой же, как и при ортогональных, но с измененным отношением сигнал/шум, равным Для симплексных сигналов (2.28) равенство (2.29) приобретает такой вид:

При множитель и ортогональные сигналы обеспечивают такую же помехоустойчивость, что и симплексные. Поэтому будем рассматривать помехоустойчивость при передаче информации ортогональными сигналами.

При когерентном приеме ортогональных сигналов вероятность ошибки определяется отношением [171]:

где интеграл вероятности (2.16).

При некогерентном приеме ортогональных сигналов [171]

где -модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Интегралы в (2.32), (2.33) в элементарных функциях не выражаются, но они достаточно подробно табулированы и графики их можно найти в [64]. Отметим только, что при больших различие между когерентным и некогерентным приемом незначительно.

При отношении сигнал/шум известны приближенные формулы [157]:

для когерентного приема из (2.32)

для некогерентного приема из (2.33)

При из (2.32), (2.33) получаем точные равенства и (2.26). В работе [28] показано, что формула (2.35) обеспечивает малую погрешность, если что эквивалентно неравенству В этой же работе получено более точное

приёлиженное выражение для вероятности ошибки при некогерентном приеме ортогональных сигналов

Если то первое слагаемое в (2.36) стремится к единице, так как его аргумент большое положительное число. Второе слагаемое стремится к нулю, поскольку аргумент у интеграла вероятности большое отрицательное число. Если то первое слагаемое в (2.36) стремится к нулю, так как его аргумент — большое отрицательное число. Интеграл вероятности, являющийся множителем второго слагаемого, стремится к единице. Расчеты показывают, что при первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым, которое в свою очередь стремится к асимптотическому выражению (2.35). Таким образом, (2.35) следует применять при

Рис. 2.7

В промежуточном случае оба слагаемых в (2.36) вносят соизмеримые вклады. Расчеты показывают [28], что формула (2.36) обеспечивает точность достаточную для практических расчетов при любом

На рис. 2.7 представлены графики вероятности ошибки (при когерентном и некогерентном приеме ортогональных сигналов для (двоичные СПИ) и Для когерентного приема кривые изображены сплошными линиями, а для некогерентного — штриховыми. Кроме того, для сравнения на рис. 2.7 представлен график вероятности ошибки при приеме двух противоположных: сигналов (кривая Графики рис. 2.7 отображают зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал/шум приходящиеся на одну двоичную единицу информации. Поскольку в формулах (2.32), (2.33) используется отношение сигнал/шум то согласно (2.14) можно заменить на по формуле

Соотношение (2.37) позволяет рассчитать вероятности ошибки при любом как функции . Отметим, что выбор в качестве аргумента при сравнении вероятностей ошибок с различным является наиболее обоснованным, так как содержит основные энергетические и информационные характеристики СПИ: мощность сигнала на входе приемника которая пропорциональна мощности передатчика; спектральную плотность мощности шума и скорость передачи информации

Из графиков рис. 2.7 видно, что с увеличением объема алфавита помехоустойчивость -ичной СПИ растет, так как при вероятность ошибки уменьшается. Поскольку -ичные СПИ обеспечивают большую помехоустойчивость при то они дают возможность передавать информацию с заданной помехоустойчивостью и при меньшем значении отношения сигнал/шум Из рис. 2.7 следует, что при требуемое значение тем меньше, чем больше Тем самым -ичные СПИ обеспечивают выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с двоичными СПИ. При постоянных значениях и Я выигрыш в отношении сигнал/шум эквивалентен согласно (2.21) выигрышу в мощности сигнала Будем называть его выигрышем по мощности.

Таким образом, -ичные СПИ являются более помехоустойчивыми, чем двоичные, а при заданной вероятности ошибки обеспечивают выигрыш по мощности, поэтому применение в СПИ алфавитов с объемом имеет практическое значение. Преимущество -ичных СПИ перед двоичными известно давно [97]. Оно полностью согласуется с общими положениями теории информации [190]. Отметим, что приведенный результат (рис. 2.7) по сути подтверждает основную теорему Шеннона [190] о пропускной способности канала. Однако в настоящее время известно лишь несколько примеров СПИ с алфавитами, объем которых [11, 135, 184, 214]. Многочисленные исследования в теории кодирования не привели пока к реальной возможности создания СПИ с большими алфавитами.

Таким образом, -ичные СПИ имеют преимущество перед двоичными, но пока что не получили широкого распространения. Очень часто в качестве основной причины слабого развития -ичных СПИ указывают на техническую сложность реализации оптимальных приемников. Действительно, при передаче информации с помощью сигналов оптимальный когерентный приемник должен содержать каналов, в каждом из которых должен быть свой согласованный фильтр и решающее устройство, которое принимает решение по максимальному напряжению на выходе одного из каналов. Некогерентный приемник содержит дополнительно детекторы огибающей. Однако ссылки на сложность технической реализации -ичного приемника с вряд ли можно считать убедительными, так как известны примеры реализации более сложных устройств, например, ЭВМ на больших интегральных микросхемах.

Попробуем выяснить, почему -ичные СПИ с большими не

получили широкого распространения. Рассмотрим рис. 2.7. Во-первых, существенное увеличение приводит к небольшому уменьшению требуемого значения отношения сигнал/шум. Особенно это заметно при сравнении -ичных СПИ и двоичной СПИ с ФМ. Например, если задана то при необходимо иметь а при и Проигрыш составляет Следует отметить, что действительно при сложность реализации возрастает существенно, хотя выигрыш по мощности не велик. Во-вторых, из сравнения графиков рис. 2.7 можно заметить, что выигрыш по мощности существенно уменьшается при увеличении объема алфавита По мере роста объема алфавита по показательному закону требуемое значение уменьшается слабее стремясь при к некоторому пределу. Это предельное значение получило название порогового значения а явление, имеющее место в СПИ при называется пороговым эффектом. Как будет показано в следующем параграфе, Это пороговое значение отмечено на рис. 2.7 штриховой линией. Таким образом, можно сделать вывод, что применять алфавиты очень большого объема с вряд ли целесообразно с практической точки зрения, так как выигрыш по мощности растет медленно, а сложность технической реализации с увеличением числа каналов оптимального приемника по показательному закону (2.13) возрастает очень быстро.

В-третьих, из рис. 2.7 следует, что при вероятность ошибки с увеличением стремится к единице. Это является еще одним свойством порогового эффекта. Если отношение сигнал/шум меньше порогового значения, то -ичные СПИ так же, как и двоичные, не могут обеспечить надежной передачи информации и переход к алфавитам с имеет практическое значение только в том случае, если отношение сигнал/шум больше порогового значения. Но при этом и двоичные СПИ обеспечивают удовлетворительную помехоустойчивость приема информации.

Таким образом, отмеченные три причины слабого внедрения -ичных СПИ в свою очередь являются следствием порогового эффекта при передаче информации алфавитами большого объема. Поскольку выбор объема алфавита имеет большое значение при проектировании СПИ, рассмотрим пороговый эффект более подробно.