7.3. Помехоустойчивость приема сложных сигналов при неидеальной синхронизации по времени и частоте

Если время задержки сигнала и его несущая частота медленно изменяются при передаче информации, то один из методов приема заключается в том, что в состав обычного оптимального приемника вводят измеритель времени задержки и измеритель частоты, которые измеряют соответствующие параметры и вводят их в оптимальный приемник. Такой метод приема называется квазиоптимальным [82, 162]. Измерители осуществляют синхронизацию по времени и частоте между принятым и опорным сигналами и являются синхронизаторами. Процесс синхронизации сопровождается ошибками.

Будем рассматривать только случайные ошибки, которые возникают из-за действия шума, причем будем полагать эти ошибки малыми. Ошибки при измерении времени прихода сигнала и его частоты приводят к рассинхронизации по этим параметрам и в конечном счете снижают помехоустойчивость приема информации. Исследованию помехоустойчивости квазиоптимальных приемников посвящено значительное число работ (см., например, [5, 82, 83, 162] и др.), однако в большинстве из них рассматриваются различные случаи квазиоптимального когерентного приема. На практике часто используется квазиоптимальный некогерентный прием. При этом необходимо оценить снижение помехоустойчивости при совместной рассинхронизации по времени и частоте для произвольных сигналов, найти условия, при которых ошибки по времени и частоте можно рассматривать независимо друг от друга, определить влияние формы сигнала на помехоустойчивость квазиоптимального приемника. Данный параграф посвящен решению сформулированных задач для случая квазиоптимального некогерентного метода приема двоичной информации при совместной рассинхронизации повремени и частоте [34, 35].

Вероятность ошибки.

Допустим, что информация передается двумя равновероятными ортогональными сигналами. Пусть энергия сигналов. Предположим, что шум является случайным нормальным стационарным процессом с нулевым средним и с равномерной спектральной плотностью мощности Оптимальный приемник при известном времени задержки сигнала и известной несущей частоте состоит из двух каналов, каждый из которых представляет собой последовательное соединение согласованного фильтра и детектора огибающей (рис. 2.6). Решающее устройство выбирает максимальное значение на выходе детекторов огибающих. Каждый фильтр согласован со своим сигналом. Так как сигналы ортогональны, то ортогональны и фильтры. Поэтому шумовые составляющие на выходах фильтров в совпадающие моменты времени некоррелированы. Поскольку шум на входе и на выходе фильтров является нормальным случайным процессом, то шумовые составляющие на выходах фильтров в совпадающие моменты времени независимы. В результате огибающие на выходах детекторов также будут статистически независимы в совпадающие моменты времени.

При рассинхронизации по времени (ошибка равна и по частоте (ошибка равна в момент принятия решения, который определяется синхронизатором, огибающая на выходе согласованного канала определяется огибающей функцией неопределенности передаваемого сигнала а огибающая на выходе несогласованного канала — огибающей взаимной функцией неопределенности Независимо от значений шумовые составляющие на выходах фильтров остаются некоррелированными в совпадающие моменты времени. Следовательно, огибающие в момент принятия решения будут также статистически независимыми, как и при Поэтому

плотность вероятности огибающих на выходах детекторов описываются законами которых сигнальные составляющие равны Отметим, что Обозначим отношение сигнал/шум в информационном канале

В соответствии с отмеченным можно показать, что вероятность ошибки при рассинхронизации равна

где При вероятность ошибки определяется известной формулой

Плотность вероятности и статистические характеристики ошибок по времени и частоте.

Напомним основные результаты теории оценок параметров сигнала [25, 1701 применительно к совместному измерению времени задержки сигнала и частоты. Предположим, что измеритель является оптимальным, т. е. обеспечивает минимальные в среднеквадратическом смысле ошибки при совместном измерении времени и частоты. При достаточно большом отношении сигнал/шум на выходе измерителя

где эквивалентная энергия сигнала в измерительном канале, совместная плотность вероятности ошибок при некогерентном приеме приближенно определяется следующим выражением 135, 170]:

где постоянная, а интегрировать надо в пределах центрального пика ФН, так как при предположении ошибки малы. Представим центральный пик поверхностью второго порядка [25]

где а частные производные взяты в точке Выражение для ФН при можно найти из (7.23), используя свойства симметрии ФН относительно осей [25]. Для ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты и для дискретных ФМ сигналов смешанная производная [25]. При

условии ошибки статистически независимы. Поэтому рассматривать будем сигналы, у которых Кроме того для сигналов с прямоугольной огибающей для ЧМ сигналов с точностью до малых высокого порядка, а для ФМ сигналов Таким образом для ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты

а для ФМ сигналов

Подставляя (7.24) в (7.22), получаем, что для ЧМ сигналов ошибки распределены по нормальному закону, а их дисперсии равны [25, 170]

Для ФМ сигналов при подстановке (7.27) в (7.23) получаем, что ошибка распределена по экспоненциальному закону с дисперсией [162]

а ошибка распределена по нормальному закону с дисперсией (7.26). Из (7.26), (7.27) следует хорошо известный результат: чем больше (или и тем выше точность измерения времени и частоты при

Увеличение частных производных или означает уменьшение длительности центрального пика ФН, т. е. при этом необходимо увеличить базу (или широкополосность) используемых сигналов. Таким образом увеличение базы сигналов при повышает точность измерения времени.

Средняя вероятность ошибки.

В работе [35] показано, что если ВФН имеет малые боковые пики в окрестности центра то ее влиянием на вероятность ошибки можно пренебречь. Такому условию удовлетворяют сигналы, у которых боковые пики около центра плоскости неопределенности меньше где В — база сигнала. Полагая из (7.20) находим, что вероятность ошибки

Средняя вероятность ошибки при усреднении по согласно определению равна

Рошср

где совместная плотность вероятности ошибок Интегрирование следует производить по области определения центрального пика ФН.

Относительно центрального пика ФН предположим, то он симметричен относительно осей . Это имеет место, как было отмечено ранее, для ФМ сигналов и ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты. При этом ошибки статистически независимы, а модуль центрального пика ФН может быть записан в виде

где Для сигналов с прямоугольной огибающей Для ФМ сигналов для ЧМ сигналов При таком представлении центрального пика ФН интегрировать в (7.29) необходимо в пределах Совместная плотность вероятности ошибок при условии, что они малы, определяется формулой (7.22).

Подставляя (7.22), (7.30) в (7.29), интегрируя и нормируя, получаем [34], что средняя вероятность ошибки приближенно равна

Из (7.31) следует, что средняя вероятность ошибки не зависит от ширины центрального пика ФН по времени и частоте, так как в это выражение не входят. Таким образом, средняя вероятность ошибки при оптимальном измерении времени задержки и доплеровской частоты не зависит от базы используемых сигналов. Поскольку форма центрального пика зависит от показателей и X, то и средняя вероятность ошибки зависит от формы центрального пика, но зависимость эта слабая, так как отношение При этом из (7.31) приближенно имеем

Например, для ФМ сигнала Для ЧМ сигнала Обычно Поэтому различие в форме центрального пика сказывается слабо. Следовательно, средняя вероятность ошибки практически не зависит от формы сигнала и его базы, а определяется только отношениями сигнал/шум на выходах информационного и измерительного каналов. Поэтому для повышения помехоустойчивости некогерентного квазиоптимального приема необходимо увеличивать отношение сигнал/шум на выходе обоих каналов. Чтобы ошибки при синхронизации сказывались слабо, необходимо иметь