12.2. Производные системы сигналов

Производным сигналом называется сигнал, который получается в результате перемножения двух сигналов. В случае дискретных сигналов перемножение должно осуществляться поэлементно или,

как чаще называют, посимвольно. Система, составленная из производных сигналов, называется производной.

Среди производных систем особое значение имеют системы, построенные следующим образом. В качестве основы используется некоторая система сигналов, корреляционные свойства которой не вполне удовлетворяют требованиям к КФ, но которая обладает определенными преимуществами с точки зрения простоты формирования и обработки. Такую систему будем называть исходной. Затем выбирается сигнал, который обладает определенными свойствами. Такой сигнал будем называть производящим. Умножая производящий сигнал на каждый сигнал исходной системы, получаем производную систему. Производящий сигнал следует выбирать так, чтобы производная система была действительно лучше исходной, т. е. чтобы она обладала хорошими корреляционными свойствами.

Эмпирически такой метод был предложен в [96, 135]. В работе [135] используется система Уолша (код Рида-Мюллера), каждый сигнал которой умножается на один и тот же заранее выбранный производящий сигнал. В результате получена новая система сигналов, у которой боковые пики ВКФ в среднем меньше, чем у исходной системы. В [135] построена только одна система, а относительно производящего сигнала отмечено, что его автокорреляционная функция (АКФ) должна иметь относительно малые боковые пики. В [96] для построения системы сигналов используется длинная последовательность, из которой вырезаются неперекрывающиеся сигналы (сегменты) меньшей длины. Какой должна быть длина сегмента в [96] не указано. Несмотря на кажущееся сильное различие между приведенными методами, они основаны на одном общем интегральном свойстве ВКФ. Для начального подтверждения этого факта отметим, что вырезание сегмента из -последовательности означает умножение ее на производящий сигнал в виде прямоугольного импульса с длительностью, равной длине сегмента.

Теоретическое обоснование такого метода было дано в работах [32, 48], а сравнение исходных и производных систем — в [30, 31]. Перейдем к исследованию производных систем сигналов.

Корреляционные функции производных сигналов.

Комплексная огибающая производного сигнала равна произведению комплексных огибающих исходного сигнала и производящего сигнала V» т. е.

ВФН сигналов по определению, согласно (1.18), (1.20) равна

Здесь энергия производных сигналов (12.14):

Полагаем, что одинакова для всех сигналов (12.14). Вводя в (12.15) дельта-функцию

получаем

ВФН сигналов — сомножителей правой части (12.14) — равны:

где энергии сигналов и определяемые соотношениями, аналогичными (12.16). Используя (12.19), (12.20), из (12.18), находим

Положим Тогда ВКФ

Если то, обозначая из (12.22) получаем

Если то, обозначая получаем

Соотношения (12.22) — (12.24) позволяют определять оценки ВКФ и АКФ производных сигналов. Отметим, что в (12.22) — (12.24) интегрировать необходимо на интервале (обозначим его ширину через где подынтегральные выражения отличны от нуля. Используя неравенство Буняковского — Шварца, из (12.22) — (12.24) получаем

Оценки (12.25) — (12.27) во многом зависят от соотношения ширины ВКФ исходных и производящих сигналов вдоль оси доплеровских частот, т. е. от значения Широкополосный производящий сигнал соответствует получению производной системы сигналов из системы Уолша, а узкополосный производящий сигнал — системе, состоящей из сегментов -последовательности. В данном параграфе рассмотрен случай широкополосного производящего сигнала, а случай узкополосного производящего сигнала — в следующем параграфе.

Широкополосный производящий сигнал.

Пусть исходные и производящие сигналы имеют одинаковую длительность и различные по ширине спектры. Обозначим ширину спектра исходных сигналов через а производящих сигналов — через причем положим, что Пусть все сигналы имеют прямоугольные огибающие, а Тогда

Допустим, что ВФН исходных и производящих сигналов равномерно распределены на плоскости . Тогда среднеквадратические значения ВФН согласно (1.33) равны

Так как то ширина ВФН исходных сигналов по оси меньше ширины ВФН производящих сигналов и поэтому Заменяя в их среднеквадратическими значениями, получаем

Из неравенства (12.29) следует, что значения ВКФ производных сигналов при произвольном аргументе меньше или равны Это означает, что и максимальные пики ВКФ будут меньше этого значения. Следовательно, для уменьшения максимальных пиков ВКФ необходимо увеличивать ширину спектра производящего сигнала. Такой результат является следствием предположения о равномерном распределении боковых пиков ВФН производящих сигналов на плоскости в пределах полосы частот Из (12.29) следует, что метод перемножения сигналов приводит к уменьшению боковых пиков ВКФ производных сигналов, если только база производящих сигналов больше базы исходных сигналов настолько, что

Это объясняет результат работы [135], где в качестве исходных сигналов использовались сигналы Уолша с шириной спектра и длительностью импульсов -число импульсов в сигнале (в [135] Производящий сигнал выбирался по АКФ. Потвидимому, ФН выбранного производящего сигнала в работе [135] обладала малыми боковыми пиками, также как и его АКФ.

Уменьшение максимальных пиков ВКФ.

Соотношения (12.22) — (12.27) позволяют обосновать метод уменьшения максимальных пиков ВКФ. Допустим, что ВФН исходных сигналов занимают полосу ширина которой по оси частот мала. Так, например, если исходные сигналы близки к простым то

Можно допустить, что вне этой полосы ВФН исходных сигналов стремятся к нулю. В этом случае из неравенства (12.25) — (12.27) следует, что необходимо как можно сильнее уменьшать значения ФН производящего сигнала в той полосе, где сосредоточены ВФН исходных сигналов. Если в соответствии с (12.29) для получения имеет место неравенство

то полоса частот шириной будет узкой по сравнению с шириной ФН производящего сигнала по оси частот. Причем эта полоса является центральной временной полосой [29]. Поскольку в узкой центральной временной полосе боковые пики близки к боковым пикам вдоль оси времени при то в качестве производящего сигнала следует выбирать такой, у которого АКФ имеет минимальные боковые пики. Естественно, что при этом должно выполняться условие (12.30).

Таким образом, чтобы правые части неравенств (12.25) — (12.27) были уменьшены, необходимыми и достаточными условиями являются выполнение неравенства (12.30) и малость боковых пиков АКФ производящих сигналов. Левые части неравенств (12.25) — (12.27) представляют мгновенные значения ВКФ и АКФ при различных причем эти неравенства дают верхнюю оценку указанных функций. Изменяя можно пройти все боковые пики, в том числе и максимальные. Поэтому (12.25) — (12.27) включают оценки и максимальных боковых пиков. Следовательно, уменьшение правых частей неравенств (12.25) — (12.27) приведет к уменьшению максимальных боковых пиков ВКФ.

Рис. 12.2

Выбор производящих сигналов.

Из предыдущего материала следует, что выбор производящих сигналов определяется рядом факторов, в том числе и исходной системой. Если сигналы исходной системы широкополосные, то производящий сигнал может быть широкополосным и иметь малые уровни боковых пиков ФН, близкие к среднеквадратическому значению (12.28). Если же сигналы исходной системы узкополосные, то достаточно выполнения неравенства (12.30) и требования малости боковых пиков АКФ.

Возьмем в качестве исходной систему Уолша. В этом случае производящие сигналы должны быть широкополосными (12.30) и иметь хорошие АКФ. Кроме того, производящий сигнал должен иметь столько же элементов, что и исходные сигналы, т. е. число элементов где целое число. Этим условиям в целом удовлетворяют нелинейные последовательности [25]. Поскольку основным является требование малости боковых пиков АКФ, то в классе нелинейных последовательностей были отобраны наилучшие сигналы с числом элементов Эти сигналы показаны на рис. 12.2. На рис. 12.2 указаны также значения числа блоков для каждого

производящего сигнала. Они близки к оптимальному значению Это и является необходимым условием получения хорошей АКФ с малыми боковыми пиками.

Свойства производной системы.

Объем производной системы равен объему системы Уолша N. С помощью ЭВМ были рассчитаны все КФ большого числа производных сигналов. Оказалось, что системы, производящие сигналы которых изображены на рис. 12.2, являются типичными. Статистические характеристики таких производных систем (П)были приведены в табл. 10.3, причем там же для сравнения даны характеристики систем Уолша

Рис. 12.3

Из табл. 10.3 следует, что среднеквадратические значения КФ обеих систем близки к значению а коэффициенты эксцесса различаются значительно. Для производных систем коэффициент эксцесса гораздо меньше коэффициента эксцесса систем Уолша. Оценим увеличение вероятности ошибки из-за наличия коэффициента эксцесса. Их формул (4.86), (4.91) следует, что увеличение вероятности ошибки приближенно пропорционально множцтелю Полагая а число получаем При для системы Уолша а а для производной системы а Следовательно, вероятность ошибки при использовании системы Уолша будет на порядок выше, чем в случае производной системы.

Большое значение коэффициента эксцесса систем Уолша объясняется наличием больших боковых пиков КФ. Для таких систем ненормированное значение максимального пика нормированное Значения Умакс приведены

в пятом столбце табл. 10.3. Отметим, что для производных систем максимальный пик близок к утроенному среднеквадратическому значению. Имеем

Для , для , а для Данные пятого столбца табл. 10.3 близки к этим значениям.

На рис. 12.3 вертикальными линиями представлен закон распределения ненормированных значений для кривые характеризуют нормальный закон распределения (10.6) с заменой на Сплошные вертикальные линии соответствуют системе Уолша, а штриховые — производной системе. Краевые участки функций распределения изображены более крупно, чтобы подчеркнуть существенное различие между законами распределения систем Уолша и производных систем,

Из данного параграфа следует, что производные системы обладают лучшими корреляционными свойствами, чем системы Уолша.