2.3. Пороговый эффект в m-ичных системах передачи информации

Теорема Шеннона и идеальное кодирование.

Шеннон показал [190], что пропускная способность канала передачи информации

где ширина полосы частот, отведенной для передачи информации, мощность сигнала, мощность шума. Для белого

шума с равномерной спектральной плотностью мощности мощность шума

При условии, что заменяя в (2.38) логарифм первыми членами ряда Тейлора и используя (2.39), получаем [22]

Условие не является ограничивающим, поскольку правая часть (2.40) определяет максимальную пропускную способность, что следует из неравенства

Согласно теореме Шеннона [190], если скорость передачи информации Я меньше пропускной способности канала С, т. е. если то можно так закодировать информацию, что вероятность ошибки (будет сколь угодно малой величиной. Если же то вероятность ошибки резко возрастает, т. е. можно считать, что она стремится к единице. Для получения сколь угодно малой вероятности ошибки при необходимо использовать алфавиты сигналов большого объема. Шеннон [190] предложил использовать алфавиты (Сигналов, выбранных случайно. Назовем СПИ с такими сигналами идеальной -ичной СПИ.

Таким образом, значение является пороговым между двумя состояниями идеальной -ичной СПИ. Выясним, чему соответствует такой порог с точки зрения отношения сигнал/шум. Полагая из (2.40) получаем

Левая часть равенства (2.41) есть согласно (2.21), а правая — его пороговое значение. Поэтому пороговое значение отношения сигнал/шум в идеальной m-ичной СПИ равно

Если то, увеличивая объем алфавита можно сделать вероятность ошибки сколь угодно малой величиной. Однако если , то применение сложного кодирования не приведет к надежной передаче информации.

В идеальной -ичной СПИ прием сигналов должен осуществляться когерентно. Однако последнее обстоятельство не имеет особого значения, что можно показать, рассмотрев -ичную СПИ, в которой передачи информации осуществляется ортогональными сигналами. Доказано (см., например, [64]), что пороговое значение пор не зависит от того, когерентный или некогерентный прием имеет место. В [64] показано, что при когерентном и некогерентном приеме ортогональных сигналов пороговое отношение сигнал/шум совпадает с пороговым отношением в идеальной -ичной СПИ. В работах [21, 28] рассмотрены особенности порогового эффекта при некогерентном приеме ортогональных сигналов. Результаты отмеченных работ позволяют считать, что при -ичные СПИ с

ортогональными сигналами реализуют помехоустойчивость идеальной СПИ. При этом -ичные СПИ обеспечивают выигрыш по мощности по сравнению с двоичными СПИ. Однако выигрыш по мощности в -ичных СПИ сопровождается требованием расширения полосы частот, необходимой для передачи информации, как это будет показано в следующем параграфе. Поэтому перейдем к сравнению двоичных и -ичных СПИ по мощности и по требуемой полосе частот,