9.4. Распределение весов полного кода

Максимальное число различных весов. Как и ранее, будем полагать, что число различных символов в кодовой последовательности равно а число символов равно Последовательности, имеющие равное количество одинаковых символов, имеют одинаковый вес Определим максимально возможное число разных весов кодовых последовательностей. Задача нахождения максимального числа весов сводится к задаче определения числа размещения одинаковых объектов по ячейкам [132]. Ее решение таково. Представим все объекты в виде последовательности, состоящей из единиц. Границы между ячейками обозначим через 0, число таких границ равно Например, для имеем одну из возможных последовательностей 1110 11110 11, т. е. в первую ячейку попадает 3 объекта (имеем три символа 0), во вторую — 4 объекта (имеем четыре символа 1), в третью —2 объекта (имеем два символа 2). Общее число объектов в последовательности из единиц и нулей равно число разных размещений определяется числом сочетаний нулей из объектов. Следовательно, максимальное число разных весов равно

При из (9.32) можно получить следующую приближенную формулу

Число последовательностей с равным количеством одинаковых символов. Оно определяется числом сочетаний из символов символов символов Такое число сочетаний вычисляется согласно полиномиальной формуле [132]:

причем должно выполняться равенство

а некоторые из могут быть равны и нулю.

Модуль веса. Формула (9.32) определяет максимально возможное число разных весов. Однако на самом деле их будет меньше, так как некоторые последовательности, имеющие разное число одинаковых символов, дадут равные веса. Формула для расчета числа весов в этом случае неизвестна. Дело еще более усугубится при переходе к модулям весов.

Если символы являются комплексными величинами, т. е.

где модуль, а фаза, то вес (9.30) является комплексно-сопряженной величиной

Модуль веса по определению равен

Число разных значений модуля будет меньше числа весов по крайней мере, по следующей причине. Если у одной последовательности то равные модули будут иметь последовательности с весами, равными Для иллюстрации рассмотрим примеры.

Распределение модуля веса. Допустим, что Объем полного кода согласно (8.2) равен Максимальное число весов согласно (9.32) равно . В табл. 9.9 приведены условные номера комбинаций символов от 1 до 15, сами комбинации, число таких комбинаций и значения модулей весов

Таблица 9.9 (см. скан)

Сумма всех х равна объему кода . Модули рассчитаны для символов где определяется согласно (9.2). Из (9.2) следует, что

Как видно из табл. 9.9, имеется всего 4 различных модуля Вероятность появления модуля веса равна

где числитель равен сумме всех к с данным . В табл. 9.10 приведено распределение модулей весов

Из табл. 9.10 следует, что при определенному модулю соответствует определенное значение х. Например, если то . В общем случае такое соответствие не имеет места. Можно показать, что если то для значения х равны 12 и 4.

Таблица 9.10 (см. скан)

Рис. 9.1

На рис. 9.1 изображен закон распределения для [51].

Нормализация. Проводить непосредственные расчеты вероятностей при больших весьма затруднительно. Поэтому целесообразно иметь приближенный закон распределения, который можно найти, используя нормализацию слагаемых веса

Обозначим

В этом случае

Каждая сумма в (9.40) при состоит из большого числа слагаемых. По предположению, Допустим также, что случайная величина, равномерно распределенная на

отрезке При таком допущении величины равны сумме большого числа случайных величин (синусоид со случайными фазами) и плотность вероятности величин должна стремиться к нормальной. Среднее значение равно нулю, а дисперсия в соответствии с общими правилами [104]

С учетом отмеченного нормальный закон распределения для имеет вид [104]:

Расчеты показывают, что законы распределения близки к нормальному закону (9.43).

Если предположить, что величины статистически независимы, то модуль должен быть распределен по закону Релея [104]:

На рис. 9.1 кривая изображает закон Рэлея (9.44). Как видно из этого рисунка, распределение можно считать релеевским весьма приближенно. Отличие объясняется в основном тем, что величины не являются статистически независимыми. Многочисленные расчеты показали, что даже если распределения близки к нормальному (9.43), распределение может в большей степени отличаться от релеевского.