11.4. Число блоков в производной кодовой последовательности и вероятность экстремальных пиков

Допустим, что исходные кодовые последовательности имеют блоков. Определим вероятность появления блоков в производной последовательности, которая получается при перемножении исходных символов.

Рассмотрим сначала первую исходную последовательность. Она имеет блоков. Границы между блоками могут располагаться на позиции (столько «стыков» между символами имеется в сигнале). Число границ равно Обозначим границы между блоками через 1, а свободные позиции через 0. В таком случае позиционная последовательность содержит символов символов 0. В совокупности всех последовательностей с блоками символ 1 равновероятно может занимать любую позицию. Поэтому вероятность появления символа 1 на некоторой позиции в первой позиционной последовательности равна

Соответственно вероятность появления символа 0 равна

Для второй позиционной последовательности имеем вероятность появления 1

и вероятность появления 0

Производная позиционная последовательность является результатом посимвольного сложения по исходных позиционных последовательностей. Например, если и исходные позиционные последовательности имеют вид и причем то производная позиционная последовательность определяется так:

При этом производная последовательность имеет три блока, так как

Из примера (11.53) следует, что символ 1 в производной позиционной последовательности появляется, если или в первой последовательности имеется 0, а во второй 1, или в первой имеется 1, а во второй 0. Символ 0 в производной позиционной последовательности будет тогда, когда в обеих последовательностях имеются или 0,

или 1. Следовательно, вероятность появления 1 в производной позиционной последовательности равна

а вероятность появления 0 равна

Подставляя (11.49) — (11.52) в (11.54), (11.55), получаем

Если

Если производная кодовая последовательность имеет блоков, то ее позиционная последовательность содержит символов 1. Найдем вероятность того, что позиционная последовательность имеет символов символов 0. Эта вероятность определяется биномиальным законом (см., например,

В начале главы были отмечены интересные свойства сигналов с числом блоков, близким к оптимальному значению (11.1). Поэтому целесообразно рассмотреть случай, когда обе последовательности имеют число блоков, близкое к (11.1). Для этого положим

Среднее значение и дисперсия биномиального закона (11.59) равны 1104]:

Подставляя в (11.60) значения вероятностей (11.58), получаем

Рассмотрим сначала среднее значение (11.61). Можно показать, что максимум Цмакс имеет место при

и равен

То, что максимум имеет место при значении совпадающим с (11.1), имеет принципиальное значение, которое будет объяснено несколько позже.

Дисперсия (11.62), как показывает анализ, слабо изменяется около значения и приближенно равна

При большом биномиальный закон (11.59) достаточно точно аппроксимируется нормальным законом [104]. На рис. 11.4 представлены два нормальных закона с различными средними значениями: рмакс (сплошная линия) и <рмакс (штриховая линия). Так как дисперсия изменяется мало, то разница между графиками (рис. 11.4) определяется в основном средними значениями. Из графиков рис. 11.4 следует, что вероятность того, что больше некоторого значения всегда больше для

Рис. 11.4

Рис. 11.5

максимальное значение имеет место тогда, когда число блоков в исходной последовательности оптимально (11.63). Как было отмечено в конце § 11.3, что чем больше тем меньше область возможных значений веса тем меньше уровень КФ. Но выбор числа блоков обеспечивает наибольшую вероятность получения максимальных значений наибольшую вероятность малых КФ. Поэтому вероятность экстремальных пиков минимальна. Следовательно, число блоков действительно, является оптимальным.

На рис. 11.5 изображены функции распределения боковых пиков при различном числе блоков для [54]. По оси абсцисс отложены значения ненормированных боковых пиков Чем ближе число блоков к оптимальному значению (11.1), тем больше вероятность малых боковых пиков и меньше вероятность больших боковых пиков. При числе блоков т. е. наиболее близком к (11.1), вероятность максимальных боковых пиков минимальна. Таким образом, расчеты [54] подтверждают, что оптимальные сигналы должны иметь число блоков, близкое к