14.3. Полный код дискретных частотных сигналов первого порядка

Объем оптимальной системы ДЧ сигналов первого порядка. Структура ДЧ сигнала (рис. 14.1) определяется местоположением элементов сигнала на частотно-временной плоскости. Взаимное расположение элементов полностью определяется их задержкой по времени относительно начала координат. Точно так же можно описать расположение элементов путем использования из задержек относительно друг друга, другими словами, интервалов между ними. Например, интервал между десятым и девятым элементами (номера указаны по оси частот на рис. 14.1) равен или просто 4, а между девятым и восьмым элементами равен — 7. Знак минус появился из-за изменения направления отсчета. Между двумя произвольными элементами ДЧ сигнала первого порядка положительные интервалы могут быть равны т. е. их число будет Точно так же отрицательные интервалы могут быть и их число равно Нулевых интервалов в ДЧ сигнале первого порядка не может быть, так как элементы не расположены на одном временном интервале. Таким образом, число различных интервалов между парой элементов равно

Возьмем два произвольных ДЧ сигнала первого порядка. Выберем в каждом из них две произвольные пары элементов на совпадающих частотах. Если интервал между парой элементов у одного сигнала не равен интервалу между парой элементов второго сигнала, то при взаимном сдвиге по времени эти пары дадут не более одного совпадения. Два совпадения возможны только тогда, когда интервал между выделенными элементами одного сигнала равен интервалу между элементами второго сигнала. Таким образом, чтобы две частотные строки двух сигналов давали не более одного совпадения, необходимо выбирать интервалы между элементами сигналов различными.

Так как число различных интервалов между парой элементов равно то можно образовать пар частотных строк, дающих не более одного совпадения при попарном положении этих строк и любом временном сдвиге. Однако число оптимальных ДЧ сигналов будет меньше, чем Чтобы объяснить этот результат, будем рассматривать сначала ДЧ сигналы с четным Пример такого сигнала приведен на рис. 14.1. Такой сигнал состоит из пар частотных строк.

Сначала рассмотрим процесс образования пар для положительных интервалов, число которых, как отмечено ранее, равно Первую пару частотных строк можно выбрать способом. При этом будет использован и максимальный интервал, равный Так как элементы в ДЧ сигнале первого порядка не могут занимать одинаковые временные интервалы, то для последующих пар частотных строк нельзя использовать интервал, равный Поэтому на вторую пару частотных строк приходится

различных интервалов, причем максимальный равен Точно так же на третью пару частотных строк будет приходиться различных интервала, на пару интервалов. Так как в сигнале всего пар, то на последнюю пару приходится различных интервалов.

Рис. 14.4 (см. скан)

Из интервалов можно образовать только частотных строк, которые дадут не более одного совпадения. Учитывая отрицательные интервалы, получаем, что максимальное число оптимальных сигналов, которое можно объединить в систему, равно при четном При нечетном точно таким же путем можно показать, что число оптимальных сигналов

в системе будет равно Объединяя эти результаты, получаем объем оптимальной системы ДЧ сигналов

Результат (14.54) согласуется со всеми известными результатами по системам ДЧ сигналов.

Полный код ДЧ сигналов. Число различных сигналов согласно (14.31) равно Все сигналы с номерами от 1 до 120 приведены на рис. 14.4. Из них вторая половина (номера с 61 по 120) повторяет сигналы первой половины с точностью до поворота частотно-временной плоскости на По горизонтали отсчитывается время, по вертикали — частота.

Рис. 14.5

Были рассчитаны все АКФ и ВКФ всех пар сигналов. Корреляционные функции рассчитывались в дискретных точках, т. е. при различных временных сдвигах определялось число совпадений. В результате исследования было установлено: если выбрать произвольный сигнал, то он образует 23 оптимальные пары из 120 возможных. Например, сигнал номер 1 образует оптимальные пары с сигналами, номера которых 11, 14, 24, 30, 37, 45, 51, 56, 68, 70, 72,76, 83, 84, 87, 90, 107, 108, 110, 112, 116, 117, 120. Этот факт справедлив для любых сигналов. Таким образом, вероятность появления оптимальной пары равна 23/120 = 0,19. В предыдущем параграфе (см. (14.50) и последующее замечание) было получено, что эта вероятность равна 0,34. Следовательно, реальная вероятность появления оптимальной пары меньше. Это обусловлено тем, что между числом совпадений при различных сдвигах существуют корреляционные связи, которые не учитывались при выводе формул (14.50), (14.51).

Если выбрать пару оптимальных сигналов, например, с номерами 1 и 11, то для них совместно оптимальными будут десять

сигналов с номерами 14, 24, 30, 45, 51, 56, 84, 87, 110, 120. Любой из них образует оптимальную пару как с сигналом номер 1, так и с сигналом номер 11, и, следовательно, может быть взят в качестве третьего сигнала системы. Возьмем, например, сигнал номер 14, т. е. имеем оптимальную систему из сигналов с номерами 1,11, 14. Для этих трех сигналов оптимальные пары образуют пять сигналов с номерами 24, 30, 56, 87, 120. Любой из них можно взять в качестве четвертого сигнала оптимальной системы. Допустим, что выбран сигнал номер 24. Имеем оптимальную систему с номерами 1, 11, 14, 24. Дальнейшее увеличение объема оптимальной системы невозможно, так как ни один из сигналов с номерами 24, 30, 56, 87, 120 не позволяет увеличить его.

Было установлено, что можно построить оптимальные системы, число которых существенно больше, чем могут обеспечить известные алгоритмы. В качестве примера приведем небольшой перечень таких систем:

Здесь даны 16 оптимальных систем, каждая строка представляет такую систему. Отметим, что строки первой и второй колонок систем не имеют совпадающих сигналов в строках третьей и четвертой колонок.

Случайная система сигналов большого объема. Из 120 сигналов (рис. 14.4) были случайным образом выбраны 30 сигналов с номерами: 1,3,8, 11, 16, 19, 24, 27, 32, 35, 40, 43, 48, 51, 56, 59, 64, 67, 72, 75, 80, 83, 88, 91, 96, 99, 104, 107, 112, 115. Эта система характеризуется вероятностями совпадений, приведенными в табл. 14.10 для

Таблица 14.10 (см. скан)

В последней строке табл. 14.10 приведены средние вероятности совпадений (14.45). На рис. 14.5 сплошной линией изображены огибающие средних вероятностей для случайной системы сигналов (табл. 14.10), а штриховой линией — огибающие средних вероятностей для полного кода (табл. 14.7) при Как видно из рис. 14.5, различие между кривыми незначительно, т. е. выбранная случайная система сигналов является типичной, за исключением, что нет совпадений