Раздел II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СИГНАЛОВ

Глава 8. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ СИГНАЛОВ

8.1. Комбинаторика и теория систем сигналов

В § 1.1 системы сигналов были определены как совокупности сигналов, объединяемых единым алгоритмом построения. Другими словами, система сигналов — это подмножество некоторого множества сигналов, элементы которого (сигналы) выбираются из элементов множества в соответствии с принятым алгоритмом или правилом выбора (построения). В соответствии с классификацией, приведенной в § 1.2, 1.3, система — это подкласс некоторого класса сигналов. Исходным множеством является соответствующий класс сигналов, из которого производится выбор подкласса или системы. Большое значение в теории систем сигналов имеют исследования упорядочения сигналов системы, выбора сигналов при некоторых ограничительных условиях и т. д., т. е. исследования проблемы перечисления элементов конечного или счетного множества. В свою очередь эта проблема является основной проблемой комбинаторного анализа или комбинаторики [132]. Комбинаторика тесно связана с теорией вероятностей, высшей алгеброй и теорией чисел.

Применение методов комбинаторики в теории систем сигналов позволяет определить объем системы сигналов, обладающей тем или иным свойством или ограничением. Для того, чтобы перейти к определению объема произвольной системы сигналов, напомним основные правила комбинаторики.

Основные правила комбинаторики. Комбинаторика основана на априорных рассуждениях и следующих двух правилах, по своей природе являющихся определениями, которые «скорее нужно понимать, нежели доказывать» [132].

Правило суммы. Если объект А может быть выбран способами, а объект В другими способами, то выбор «или или может быть осуществлен способами. Следует отметить, что выборы А или В являются взаимно исключающими, т. е. нет возможности выбрать оба объекта одновременно. Методом математической индукции правило суммы распространяется на произвольное число объектов. Правило суммы в комбинаторике эквивалентно правилу сложения вероятностей для несовместимых событий (правило сложения см., например, в [104]).

Правило произведения. Если объект А может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект В в свою

очередь может быть выбран способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен способами. Правило произведения также распространяется на произвольное число объектов. Правило произведения в комбинаторике эквивалентно правилу умножения вероятностей как для зависимых, так и для независимых событий (правило умножения см., например, в [104]).

Объем класса манипулированных сигналов. Проиллюстрируем применение одного из правил, а именно правила произведения, для нахождения объема класса манипулированных сигналов. Как следует из классификации манипулированных сигналов (§ 1.5), класс включает все сигналы данного рода с заданными основаниями манипуляций и заданными порядками. При конечных основаниях и порядках объем класса конечен, т. е. он содержит конечное число сигналов данного рода. Любая система сигналов является подклассом какого-нибудь класса или в предельном случае самим классом. Поэтому, если известны свойства класса, то могут быть известны и свойства системы сигналов. По этой причине, как уже было отмечено, класс является основной классификационной единицей и исследование свойств классов имеет большое значение. Исследование свойств классов и наиболее важных подклассов сигналов — цель данной книги.

Допустим, что класс определяется манипулированными параметрами и основания манипуляции равны Назовем основанием манипуляции класса величину

Формула (8.1) получена при использовании правила произведения. Действительно, если один параметр (объект) можно выбрать способами, а второй — способами, причем независимо от выбора первого параметра, то оба параметра совместно можно выбрать способами. Например, если основание амплитудной манипуляции или а основание фазовой манипуляции равно или или или 64), то, выбирая совместно и амплитуду, и фазу, имеем 8 способов Таким образом, имеем элементов, которые отличаются между собой амплитудами и (или) фазами. Применяя последовательно правило произведения к параметрам (объектам), получаем формулу (8.1).

Если каждый элемент выбирается одним из способов (8.1), то число различных сигналов в классе (объем класса), отличающихся хотя бы одним элементом, равно

где число элементов. Формула (8.2) получена также на основе применения правила произведения, так как способами можно выбрать и первый элемент, и второй, что равно произведению сомножителей, каждый из которых равен т. е.

Каждый класс манипулированных сигналов по определению содержит все сигналы с заданными основаниями манипуляции и заданными порядками. В теории кодирования классы называются полными кодами [111]. Если основание манипуляций класса то такой класс будем называть полным двоичным кодом, а если то полным произвольным кодом.