9.3. Корреляционные функции полного кода

Корреляционные функции в дискретных точках. В гл. 1 были подробно рассмотрены корреляционные функции (КФ) различных сигналов. В большинстве случаев КФ внешне отличаются значительно. Однако, если рассматривать значения КФ в некоторых дискретных точках частотно-временной плоскости, то их можно привести к одной форме, которая оказывается полезной в исследованиях.

Начнем с ВФН ДЧ сигнала порядка К (1.89). Положим обозначим

Допустим, что произведение В этом случае фаза в При сделанных допущениях из (1.89) получаем

Суммирование в (9.22) производится по всем удовлетворяющим первому уравнению в (9.21), а пределы изменения определяются решениями второго уравнения (9.21).

Для ДЧ сигналов первого порядка при тех же допущения из (1.70) получаем

где

В случае частотных сигналов при из (1.118) имеем

а для дискретных сигналов при из (1.125) получаем

Сравнивая выражения (9.22)-(9.25), замечаем, что с точностью до постоянной их можно представить в следующей общей форме:

В дальнейшем при исследовании статистических характеристик КФ большое значение будет иметь число слагаемых в (9.26). Оно зависит от режима работы радиотехнической системы. При периодическом излучении одного и того же сигнала, а также при последовательном излучении различных сигналов друг за другом число слагаемых неизменно. С точки зрения характеристик оба эти случаи одинаковы. Поэтому такие режимы работы будем для краткости называть периодическими. Максимальное число слагаемых при периодическом режиме равно Для частотных и дискретных сигналов периодические КФ определяются из (9.24), (9.25) при

Если излучается единственный сигнал или КФ не перекрываются, то такие режимы будем называть для краткости апериодическими. В этом случае число слагаемых зависит от взаимного смещения (сдвига) кодовых последовательностей Для частотных и дискретных сигналов сдвиг равен Когда число слагаемых в КФ равно когда число слагаемых когда число слагаемых т. е. в общем случае при сдвиге X число слагаемых равно

Групповые свойства корреляционных функций. Допустим, что элементы и а принадлежат некоторому алфавиту А из элементов. Пусть алфавит А является мультипликативной комплексно-сопряженной группой. В этом случае произведение согласно примеру 5 в § 9.1 является элементом группы т. е.

где является одним из значений и некоторой функцией от т. е.

Подставляя (9.27) в (9.26) и отбрасывая индексы получаем

В (9.29) суммирование производится по всем число слагаемых равно , причем Последовательность состоящая из символов, является одной из последовательностей полного кода объема Поэтому сумма

является одной из возможных сумм полного кода. Сумма называется весом кодовой последовательности. Число всех весов равно но число разных весов будет гораздо меньше. Поскольку вес (9.30) и значение КФ (9.29) связаны соотношением

то знание распределения весов полного кода позволяет определить статистические характеристики КФ. Перейдем к определению распределения весов полного кода.