12.3. Сегментные системы

Сегментными назовем системы, образованные из Сегментов (отрезков) последовательностей. Сегментная система является производной, так как выделение сегмента из -последовательности эквивалентно применению узкополосного производящего сигнала — простого сигнала с прямоугольной огибающей, длительность которого равна длительности сегмента.

Одной из первых работ, в которой указывалось применение сегментных систем, была [96]. М-последовательность, с числом символов разбивалась на неперекрывающиеся сегменты с длиной символам. Было получено 2080 сегментов, из которых с помощью ЭВМ было отобрано сегментов, ВКФ которых не превышали 0,25. Однако в работе [96] нет методики определения чисел и не установлена их взаимосвязь с ВКФ. Подчеркнем, что с ростом выбор хороших сегментов может оказаться неразрешимой задачей даже для современных ЭВМ. По этой причине перешли к аналитическому изучению сегментов -последовательностей. Работы [200, 215, 225] посвящены нахождению моментов распределения сумм символов в сегментах весов. Результаты этих работ показывают, что функции распределения весов могут быть сильно асимметричны и иметь большие «хвосты», что приведет к увеличению боковых пиков ВКФ. Однако методика определения также не была найдена.

В работе [32] на основе общих свойств производных сигналов были определены некоторые соотношения для длинных сегментов Отметим также работы [146, 148], в которых приведены результаты многочисленных расчетов на ЭВМ.

Данный параграф является развитием работы [32] и посвящен исследованию и объяснению корреляционных свойств сегментов, определению оценок ВКФ сегментов различного вида (как неперекрывающихся, так и перекрывающихся), определению зависимостей между Основные полученные результаты были подтверждены с помощью расчетов на ЭВМ и приведены в работе [48].

Основные соотношения. Обозначим комплексную огибающую исходного сигнала как а огибающую производящего сигнала как Допустим, что

а вне указанных отрезков и Кроме того, допустим, что длительность производящего сигнала меньше длительности исходного сигнала т. е. Назовем сегментом производный сигнал вида

причем в соответствии с расположен на отрезке и вырезается из исходного сигнала на отрезке Последовательность сегментов образует систему сигналов.

ВФН сегментов согласно (1.18), (1.20) записывается в следующем виде:

где энергия сегментов, знак комплексной сопряженности. Подставляя в (12.35) выражение (12.34) и используя метод, рассмотренный в предыдущем параграфе (введение дельта-функции), получаем:

где ФН исходного и производящего сигнала

а энергии этих сигналов. Полагая из формулы (12.36) получаем ВКФ:

Отметим особенности полученного выражения. Значение ВКФ при заданном определяется интегралом от произведения частотных сечений ФН исходного и производящего сигналов а также экспоненты Из-за того, что разным сегментам соответствуют различные сдвиги то ВКФ зависит как от значения в показателе экспоненты, так и от разности в ФН Поскольку для разность то положения центров где не совпадают. Более того, так как лишь при то если центр ФН не попадает в полосу, занимаемую ФН Это означает, что в подынтегральном выражении не достигает своего максимального значения, равного единице. Сегменты с будут неперекрывающимися. Причем если то назовем сегменты разнесенными, примыкающими. Если то сегменты будут перекрывающимися.

Из (12.40) получает, что

т. е. определенное таким образом максимальное значение ВКФ зависит только от разности Следовательно, максимальные значения ВКФ сегментов с зависят лишь от одной полосы

Корреляционные свойства неперекрывающихся сегментов. Анализ корреляционных свойств таких сегментов произведем на основе формулы (12.40), учитывая, что исходным сигналом является -последовательность. Сначала рассмотрим разнесенные сегменты, у которых разность задержек между соседними больше длительности сегмента, т. е. При этом центральный пик ФН М-последовательности не попадает на ФН производящего сигнала т. е. ВКФ при различных определяется произведением ФН в области слабой корреляции (где

Частотное сечение для производящего сигнала (12.33) имеет следующий вид (см., например, [25], с. 74):

При данном максимальна при а максимум равен Вблизи максимума (в области меняется медленно, а затем становится затухающей знакопеременной функцией. Исходя из такого характера можно предположить, что основной вклад в интеграл (12.40) вносит та часть подынтегрального выражения, которая сосредоточена в об ласти Основанием для такого предположения является асимптотическое свойство интеграла (12.40) при Полагая из (12.40) должны иметь тождество

т. е. произведение выполняет роль дельта-функции что дает в правой части

Это, действительно, так, потому что при можно полагать поскольку сигнал вне отрезка тождественен нулю. Из определения дельта-функции следует равенство

Так как при величина то дельта-функция имеет эквивалентную ширину Отсюда следует, что основной вклад в интеграл (12.40) вносит часть подынтегрального выражения в области Для случая приближенно можно полагать, что при при Используя такое приближение, а затем неравенство Буняковского — Шварца, из (12.40) получаем

Интеграл под квадратным корнем пропорционален квадрату эффективного значения при усреднении на отрезке Функции неопределенностей

М-последовательностей характерны тем, что они имеют области слабой корреляции, близкие к равномерным. Поэтому можно полагать, что

где правая часть (12.46) — квадрат эффективного значений при усреднении по области частот на отрезке длительность одиночного импульса -последовательности, причем Обозначая максимальное эффективное значение боковых пиков из (12.45) находим

Поскольку при из (12.39) имеем а отношение то

Известно (см., например, [25, с. 118], что максимальное эффективное значение при усреднении на отрезке равно

Подставляя (12.49) в (12.48), имеем

где Отметим, что при выводе формулы (12.50) нигде не была оговорена длительность сегмента Следовательно, оценка (12.50) приближенно справедлива как для длинных сегментов так и для коротких Выясним, какие особенности имеются при длинных и коротких сегментах.

При коротких сегментах отрезок интегрирования в (12.45) расширяется и точность приближения левой и правой частей приближенного равенства (12.46) увеличивается, т. е. оценка (12.50) становится более точной. Однако при этом меньше величины, которая в свою очередь больше единицы. Так как макс то полученный результат свидетельствует о том, что среди коротких сегментов обязательно будут такие, у которых уровень ВКФ будет соизмерим с единицей.

При значения ВКФ меньше единицы. Поэтому при таком выборе длины сегмента можно быть уверенным, что ВКФ будут малыми. Однако с ростом уменьшается отрезок

интегрирования в (12.45). В этом случае эффективное значение Следовательно, для уменьшения значений ВКФ необходимо так выбирать -последовательность, чтобы ее АКФ имела малые боковые пики.

Рассмотрим теперь примыкающие сегменты, у которых

При этом центральный пик попадает на границу Поскольку на границе ФН мало отличается от нуля, то вклад центрального пика ФН в значения ВКФ будет мал и его можно не принимать во внимание. Поэтому и для примыкающих сегментов можно использовать оценку (12.50). Число таких сегментов (т. е. число сигналов в системе) будет равно

Обычно из условий применения системы сигналов задается либо максимальное значение, либо эффективное значение ВКФ сигналов (либо то, и другое вместе). Поэтому полагая, что из (12.50) и (12.51) имеем

Например, если (длина -последовательности в [96]), то Если же то

Корреляционные свойства перекрывающихся сегментов. Для перекрывающихся сегментов разность задержек где В этом случае из формулы (12.40) получаем:

При сечение есть Центральный пик этого сечения с максимумом, равным единице, будет гораздо уже, чем центральный пик сечения Поэтому пределы интегрирования в (12.54) можно положить равными — а в этих пределах все множители в подынтегральном выражении считать постоянными. Значения первого и второго множителя в (12.54) равны единице (имеются в виду модули), а значение третьего согласно формуле (12.42) равно отношению . Обозначая как из (12.54) находим

При выводе формулы (12.55) было учтено, что согласно Следует отметить, что результат (12.55) является есте

естественным, так как если два произвольных сигнала имеют одинаковых символов (один в конце, а другой в начале), то их ВКФ будет иметь по крайней мере один пик, равный отношению Следовательно, этот пример еще раз подтверждает, что принятый метод обеспечивает получение оценок с приемлемой точностью.

Для определения допустимого перекрытия сегментов положим, что значение равно которое определяется согласно (12.40). В этом случае имеем

Если заданы то длительность сегментов определяется формулой (12.52), а число сегментов будет равно

т. е. по сравнению с (12.53) увеличилось в раз. Например, если то число сегментов а при оно равно Следовательно, перекрытие сегментов увеличивает их число при том же значении ВКФ.

Оценка максимальных боковых пиков. Для получения более точной оценки максимальных боковых пиков ВКФ сегментов было использовано циклическое свойство -последовательностей, заключающееся в том, что сумма по двух одинаковых -последо-вательностей, сдвинутых относительно друг друга, является той же -последовательностью, но имеющей иной сдвиг во времени (см., например, [25, с. 222]). Из этого свойства следует, что сумма двух сегментов -последовательности является сегментом той же -последовательности, но с произвольным сдвигом.

ВКФ сегментов в дискретных точках согласно определению имеет следующий вид:

где кодовые последовательности соответствующих сегментов. Используя циклическое свойство сегментов, сформулированное ранее, из (12.58) получаем

где сегмент -последовательности длины

Назовем весом сегмента сумму правой части (12.59);

Таким образом, оценка максимальных боковых пиков ВКФ сегментов сводится к определению максимального веса Решение этой задачи эквивалентно нахождению максимального бокового пика среди всех АКФ, соответствующих -последовательности и ее циклическим сдвигам. Действительно, если обозначить через -последователь-ности со сдвигом то по определению

Длина сегмента равна При изменении от 0 до индекс I также пробегает все эти значения, но только в ином порядке. Поэтому при таком изменении правая часть (12.61) даёт веса всех сегментов длиной . В свою очередь изменение от 0 до определяет все сегменты с длиной, изменяющейся от до 1. Это свойство АКФ М-последовательностей было использовано для определения максимального веса

С помощью ЭВМ было найдено, что для

Приведенный результат подтвержден многочисленными расчетами для различных -последовательностей. Подобная оценка, полученная для АКФ с помощью ЭВМ, приведена также в [140]. Это дает основание предполагать, что оценка (12.62) справедлива для произвольных Используя (12.62), из (12.59) получаем верхнюю оценку максимальных боковых пиков ВКФ сегментов -последовательностей

Эта оценка примерно в 1,77 раза превышает приближенную оценку (12.50), т. е. в этом случае коэффициент Следует отметить, что верхняя оценка (12.62) встречается очень редко. Для большинства рассмотренных -последовательностей т. е.

что в раз превышает оценку (12.50). При этом коэффициент Расчет длины сегментов, их перекрытия и числа сегментов при использовании оценок (12.63), (12.64) следует вести по формулам (12.52), (12.56), (12.57) с учетом значения коэффициента а.

Примеры расчета длинных сегментов. Приведем характеристики двух систем сигналов, являющихся сегментами -последовательностей с числом символов (характеристический многочлен (характеристический

многочлен Предварительно были определены все веса произвольных сегментов, в результате чего уточнены коэффициенты а. Оказалось, что для -последовательности с коэффициент а а для Для заданных табл. 12.4, а при табл. 12.5) и уточненных коэффициентах а по формулам (12.52), (12.56), (12,57) были вычислены длина сегментов их перекрытие и число сегментов Эти величины приведены в табл, 12.4, 12.5 на первых строках. Затем в соответствии с полученными исходные -последовательности разбивались на сегменты, причем с произвольным началом первого сегмента.

С помощью ЭВМ были найдены ВКФ сегментов. Оказалось, что значения ВКФ не превосходят заданного значения

Таблица 12.4 (см. скан)

Таблица 12.5 (см. скан)

На строках 2, 3, 4 табл. 12.4, 12.5 приведены значения для а, соответствующих приведенным ранее оценкам: соответствует оценке (12.50), оценке (12.64), верхней оценке (12.63). Как видно из табл. 12.4, 12.5, расчетные значения первых строк лежат между значениями, соответствующими Таким образом, расчет характеристик сегментов по формулам (12.52), (12.56), (12.57) при укажет границы, в пределах которых будут лежать характеристики сегментов. Поскольку близко к среднеарифметическому значению указанных а, то расчет характеристик при даст результаты, близкие к реальным. Поэтому для расчетов следует выбирать коэффициент