1.5. Корреляционные функции сигналов

Оптимальный прием сигналов осуществляется с помощью согласованных фильтров или корреляторов (см., например, [3, 7, 25, 93, 99, 105, 139, 162, 166, 170, 191, 192]). Напряжения на выходе таких устройств описываются корреляционными функциями. В зависимости от того, согласован или не согласован сигнал с фильтром, имеется ли дополнительное доплеровское смещение несущей частоты сигнала, корреляционные функции имеют различные представления.

Взаимная функция неопределенности (ВФН) двух сигналов с номерами согласно определению [25] выражается через комплексные огибающие сигналов и через их спектры следующим образом:

где сдвиг одного сигнала относительно другого по времени, доплеровский сдвиг частоты, энергии сигналов соответственно. Если энергии сигналов то

ВФН (1.17), (1.18) является комплексной огибающей напряжения на выходе фильтра, согласованного с сигналом, когда на его входе действует сигнал с доплеровским сдвигом частоты Если обозначить это напряжение через то аналогично (1.12) имеем

Плоскость называется плоскостью неопределенности, а поверхность, образованная значениями ВФН , - поверхностью неопределенности. Центром ВФН является точка с координатами расположенная в начале координат.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Центром смещенной по осям времени и частоты, назовем точку с координатами а значение в этой точке назовем коэффициентом корреляции.

В случае сигналов, не ограниченных по времени и по частоте, подынтегральные выражения в (1.17), (1.18) не равны тождественно нулю при любых значениях Поэтому ВФН таких сигналов распределена на всей плоскости неопределенности

ВФН финитных сигналов длительностью распределена в полосе которая выделена на рис. 1.10 штриховкой. Если вне полосы частот шириной содержится малая часть энергии сигнала, то приближенно можно считать, что ширина спектра сигнала равна При этом можно полагать, что ВФН распределена внутри заштрихованного прямоугольника со сторонами (рис. 1.11).

Иногда необходимо знать распределение ВФН сигналов с различными длительностями и спектрами различной ширины. Пусть длительности сигналов равны а ширина их спектров Положим также, что середины сигналов смещены относительно момента на величину а середины спектров смещены на относительно Можно показать, что центр ВФН этих сигналов имеет координаты

а стороны прямоугольника, в котором ВФН распределена, имеют длину Координаты центра определяются как среднеарифметические значения границ прямоугольника по соответствующим осям.

Взаимокорреляционная функция (ВКФ) является сечением ВФН при Полагая из (1.18) получаем

Функция неопределенности (ФН). Если фильтр согласован с сигналом, т. е. то из (1.18) получаем определение ФН

Автокорреляционная функция (АКФ) - сечение ФН при

Полагая из (1.22) находим

Из этого равенства (1.23) видно, что АКФ является преобразованием Фурье энергетического спектра комплексной огибающей сигнала..

Частотная корреляционная функция (ЧКФ) - сечение ФН при Полагая из (1.22) получаем

Из первого равенства (1.24) следует, что ЧКФ является преобразованием Фурье квадрата огибающей сигнала.

Максимум и симметрия корреляционных функций. В целом функции (1.17), (1.18), (1.21)-(1.24) называются как было отмечено ранее, корреляционными функциями (КФ). Известно [25], что

максимум КФ имеет место лишь при только в центре ФН (или АКФ и ЧКФ). Максимум равен

а

Свойство симметрии КФ заключается в том, что

Из (1.27) следует, что

Объем и среднеквадратические значения ВФН и ФН. Известно (см., например, [223]), что объем, заключенный между поверхностью, описываемой квадратом модуля ВФН, и плоскостью неопределенности (или просто объем ВФН), равен единице, т. е.

и не зависит от формы и номеров сигналов. Полагая имеем более известный результат: объем ФН также не зависит от формы сигнала и равен единице, т. е.

Формулы (1.31), (1.32) позволяют найти эффективные значения ВФН и ФН. Обозначим эти значения через Полагая, что ВФН и ФН приближенно распределены на прямоугольнике (см. рис. 1.11), и обозначая согласно (1.31), (1.32) можем записать, что Отсюда находим

Из (1.33) видно, что чем больше база сигнала, тем меньше среднеквадратические значения. Формулы (1.31)-(1.33) имеют большое принципиальное значение.

Интегральные равенства. В теории сложных сигналов известен ряд интегральных равенств (см. например, работы [4,22, 25, 29, 99, 153, 223]), которые позволяют находить различные оценки КФ.

Известно, что для четырех сигналов с номерами имеет Место соотношение [223]

Из (1.34) можно получить ряд интегральных равенств [22, 25]. Умножая обе части (1.34) на интегрируя по и используя свойства дельта-функции, получаем

В дальнейшем индекс 1 будет опущен.

Из формулы (1.35) можно найти частные интегральные равенства. Рассмотрим их.

а). Положим Имеем

Средняя мощность модуля ФН в сечении является преобразованием Фурье от квадрата АКФ. Равенство (1.36) можно найти в [4], а его использование для определения частичного объема ФН в [29].

б). Положим Имеем

в). Положим Имеем

Из (1.37) следует, что среднее значение квадрата модуля ВКФ сигналов с номерами равно среднему значению произведения их АКФ. Интегральное равенство (1.37) приведено в работе [153], где даны и некоторые оценки ВКФ.

Обозначим квадраты эффективных значений ВКФ через

где длительность сигнала, или Используя неравенство Буняковского-Шварца, из (1.37) получаем

Из (1.39) следует, что для уменьшения эффективного значения ВКФ необходимо уменьшать эффективные значения АКФ.

Отметим, что переход от (1.34) к (1.35) был совершен путем умножения на и интегрированием по Если умножить обе части равенства (1.34) на и проинтегрировать по то можно получить интегральные равенства, аналогичные (1.35)- (1.38), но для частотных сечений. В этом случае также можно найти оценки, аналогичные (1.39).

Корреляционные функции (1.17)-(1.34) справедливы для любых сигналов. В следующих параграфах данной главы показано, какие особенности имеют корреляционные функции сигналов того или иного вида.