Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава 9. ПОЛНЫЙ ПРОИЗВОЛЬНЫЙ КОД9.1. Алгебраические свойства полного кодаКак было определено в Исследование корреляционных свойств класса полного кода имеет большое значение для изучения свойств систем сигналов, являющихся подклассами данного класса. Оно существенно упрощается, если учитывать алгебраические свойства полного кода, который является группой. Перейдем к рассмотрению этого вопроса. Группа и ее свойство. Допустим, что имеем некоторое множество объектов или элементов. Обозначим объекты через двух переменных. Обычно операцию обозначают или как умножение Группой называется (см., например, [92, 121]) множество, на котором определена бинарная операция и выполняются следующие аксиомы. 1. Замкнутость. Операция может быть применена к любым двум элементам группы, в результате чего получается элемент группы. 2. Ассоциативность. Для любых трех элементов группы 3. Нейтральный элемент. Существует нейтральный элемент Если операция называется умножением, то нейтральный элемент называется единицей, обозначается 1 и определяется из уравнения 4. Обратный элемент. Существует обратный элемент а такой, что Кроме перечисленных аксиом, элементы группы могут удовлетворять коммутативному закону, т. е. В теории групп большое значение имеет теорема о нейтральном и обратном элементах [121]. Теорема. Группа обладает единственным нейтральным элементом и каждому элементу группы соответствует единственный обратный элемент. Доказательство. а) Допустим, что в группе два нейтральных элемента Примеры групп. 1. Аддитивная двоичная группа. Состоит из элементов 0 и 1. Операция сложения определена по модулю
где Нейтральным элементом является 0, обратным элементом к О является 0, а обратный к 1 является 1, так как 2. Мультипликативная двоичная группа. Состоит из элементов 1 и —1. Операция умножения в группе определена табл. 9.2. Нейтральным элементом является 1, обратным элементом к 1 является 1, а обратным к — 1 является — 1. Из сравнения табл. 9.1, 9.2 видно, что они имеют много общего. Если заменить элемент 0 на 1, элемент 1 на Таблица 9.1 (см. скан) Таблица 9.2 (см. скан) 3. Аддитивная Нейтральным элементом является 0, а обратными являются: для 0 элемент 0, для 4. Мультипликативная
Таблица 9.3 (см. скан) Таблица 9.4 (см. скан) Операция умножения определяется следующим равенством Следовательно, умножение элементов Из сравнения табл. 9.3 и 9.4 следует, что индексы у элементов 5. Мультипликативная комплексно-сопряженная
где
где В табл. 9.5 даны разности
Так как Таблица 9.5 (см. скан) Таблица 9.6 (см. скан) Таблица 9.7 (см. скан) 6. Полный Положим Представление кодовых последовательностей в виде, представленном в табл. 9.7, обусловливает выбор в качестве бинарной операции посимвольное сложение по
в связи с тем, что По табл. 9.8 проверим все групповые свойства полного кода. Замкнутость имеет место, так как все элементы табл. 9.8 принадлежат полному коду. Ассоциативность проверяется непосредственно. Например, Если символы кодовых последовательностей представить в виде (9.2), то в качестве бинарной операции над элементами полного кода следует взять посимвольное умножение согласно соответствующей таблице умножения элементов Разложение группы по подгруппам. Если часть группы обладает свойствами подгруппы, т. е. у нее выполняются все четыре групповые аксиомы, то она называется подгруппой. Очевидно, нейтральный элемент подгруппы должен совпадать с нейтральным элементом группы, иначе группа должна была бы содержать два нейтральных элемента, что невозможно. В общем случае, все подгруппыимеют Таблица 9.8 (см. скан) один и тот же нейтральный элемент. Согласно четвертой аксиоме подгруппа должна содержать все свои обратные элементы. В качестве примера рассмотрим табл. 9.8. Из этой таблицы сразу же можно выделить подгруппу, состоящую из элементов 0, 1,2. Можно также выделить подгруппы из элементов 0, 3, 6; 0, 4, 8; О, 5, 7. Подгруппы имеют большое значение в теории групп, так как они позволяют разлагать группы на более простые структуры. Например, если использовать подгруппу 0, 1,2, то разложение группы (полного кода) с
Перейдем к разложению группы первую строку. Остальные элементы получаются в результате выполнения принятой операции; например, при умножении (сложении) всех элементов подгруппы на первый элемент строки. Аналогично образуются и все остальные строки, до тех пор, пока в таблицу не войдут все элементы группы. Такое представление группы дается следующей таблицей, причем в качестве групповой операции взято умножение:
Из (9.6) следует, что число строк равно
В общем случае порядок подгруппы делит порядок группы (теорема Лагранжа). Совокупность элементов в строке называется смежным классом, а элемент, стоящий в первом столбце строки — образующим смежного класса. Для разбиения (9.6) известен ряд теорем; основными являются ниже следующие [121]. Теорема 1. Два элемента Теорема 2. Каждый элемент группы Число различных разбиений группы по подгруппам весьма велико [138]. Среди различных разбиений отметим только одно, которое назовем натуральным. Заменим последовательности их номерами в
причем Если
Расположим все элементы группы в порядке их номеров:
Пример такого разбиения был дан в форме (9.5). Оно позволяет представить все сигналы через сигналы с номерами
|
1 |
Оглавление
|