9.6. Статистические характеристики полного кода

Статистические характеристики периодических корреляционных функций. Периодическая КФ, как было отмечено ранее, содержит N слагаемых, т. е. (9.26) можно записать в следующем виде:

Назовем начальным моментом величину

где объем полного кода; суммы по с множителями означают усреднение периодических КФ по всем последовательностям полного кода, а сумма по с множителем означает усреднение но сдвигам.

Заменяя в на вес согласно формуле (9.31), получаем

Зафиксируем и положив их постоянными. При изменении получаем все возможные веса, сумма которых не будет зависеть от Поэтому справедливо следующее равенство для :

т. е. необходимо каждый вес возвести в степень, просуммировать и разделить на Подставляя в (9.54) определение (9.51), получаем

Полагая из (9.55) находим среднее значение

Но сумма равна нулю в соответствии с (9.19). Поэтому среднее значение Поскольку то второй начальный момент совпадает со вторым центральным моментом т. е.

Выделяя сумму по имеем

Согласно (9.18) сумма по равна 0 при и равна при . В этом случае в двойной сумме по необходимо учитывать только слагаемые с . В результате имеем

Так как ранее было предположено, что символы принадлежат к символам вида (9.2), то и

Отметим, что второй центральный момент (9.60) не зависит от объема алфавита (основания манипуляции) и полностью определяется числом символов в кодовой последовательности.

Статистические характеристики апериодических корреляционных функций. Определим начальный момент апериодических КФ следующим образом

Здесь усреднение по производится на интервале шириной Так же, как и в случае периодических КФ, среднее значение Поэтому рассмотрим только

Основное отличие начальных моментов апериодических КФ (9.61) от периодических КФ (9.52) заключается в определении самой КФ. В случае периодических КФ число слагаемых в (9.51) всегда постоянно и равно Это число не зависит от сдвига В случае апериодических КФ, как было отмечено ранее, число слагаемых равно так как

Определение (9.62) можно подставить в (9.61) и произвести суммирование. Но можно применить и другой прием [37], используя спектр кодовой последовательности (см., например, (1.106)). Из (1.128) при имеем

Обратимся теперь к сумме в (9.61). Поскольку при то

Определим дисперсию из (9.61) при следующим образом

Подставляя (9.63) в (9.65), получаем

Преобразуя, получаем

В теории обобщенных функций известно равенство:

где дельта-функция. Заменим сумму экспонент в (9.66) согласно (9.67). При интегрировании на интервале только один член суммы дает результат, отличный от нуля. Используя фильтрующее свойство дельта-функции, находим

Подставляя в (9.68) выражение для спектра кодовой последовательности (1.106) и производя интегрирование, окончательно получаем

где символ

Меняя местами порядок суммирования, перепишем (9.69) в следующем виде:

В соответствии с условием ортогональности (9.18) сумма по равна нулю при и равна при Аналогично сумма по равна только при Таким образом

Так как двойная сумма равна то окончательно имеем [37, 50]

По поводу полученного результата заметим следующее. Во-первых, так же как и не зависит от и полностью определяется длиной последовательности Во-вторых, дисперсия апериодических КФ вдвое меньше дисперсии периодических КФ. Докажем этот результат, используя в качестве исходного дисперсию (9.60). Рассмотрим внутреннюю сумму по в (9.61) при и выразим ее через веса

При дальнейшем усреднении по и по квадраты модулей весов будут заменены их дисперсиями. Дисперсия веса

согласно (9.31) и (9.60) равна длине последовательности. Если длина последовательности равна то и дисперсия веса будет равна Но при апериодических КФ число слагаемых, входящих в ее определение, изменяется с изменением При оно равно при оно равно При оно равно 1. Поэтому с учетом последующего усреднения по сумму (9.74) можно представить так:

Подставляя (9.75) в (9.61) при приходим к результату (9.73).