9.5. Распределение корреляционных функций

Переход от весов к корреляционным функциям. Он определяется формулой (9.31). Если считать, что вес случайная величина с плотностью вероятности то плотность вероятности КФ в соответствии с общими правилами [104] будет равна

Если ввести

где определены формулами (9.40), то согласно (9.43), (9.45) имеем

а получается из (9.47) после замены индекса С на 5. Аналогично для модуля из (9.44), (9.45) получаем

В аргументы плотностей вероятностей (9.47), (9.48) введен параметр Это сделано потому, что в дальнейшем будет производиться суммирование по слагаемых вида (9.47), (9.48).

Периодические корреляционные функции. При периодическом режиме на выходе согласованного фильтра имеет место периодическая КФ. В случае дискретных или частотных сигналов, как было отмечено ранее, в исходных формулах (9.29), (9.30) число слагаемых равно Полагай из (9.47), (9.48) получаем

Апериодические корреляционные функции. При апериодическом режиме работы число слагаемых в (9.29), (9.30) изменяется от нуля до что соответствует изменению сдвига X в (9.24), (9.25). Отметим, что число слагаемых возможно только один раз при в то время как число слагаемых появляется дважды: при сдвиге вправо и влево Поэтому значения встречаются дважды.

Рис. 9.2

Рассмотрим следующую модель для исследования апериодических КФ. Допустим, что момент наблюдения попадает равновероятно на один из отсчетов КФ. Обозначим через плотность вероятности случайной величины при числе слагаемых в сумме, равном Если то определяется формулой (9.47), а если то формулой (9.48). Найдем вероятность того, что где некоторое фиксированное значение. Значение может появиться или при с вероятностью или при с вероятностью или при с вероятностью или при вероятностью Отметим что при перед имеется множитель так как встречается дважды, как было отмечено ранее. Поскольку перечисленные события несовместимы, то согласно правилу сложения вероятностей вероятность появления равна сумме перечисленных вероятностей. В общем случае вероятность появления некоторого значения в апериодической КФ равна

Формула (9.50) позволяет находить функцию распределения апериодических КФ, если известны Для примера на рис. 9.9 сплошной линией изображен закон распределения величины при Штриховой линией показан нормальный закон распределения с дисперсией, равной среднему значению дисперсий слагаемых в (9.50) (можно показать, что эта кривая соответствует закону (9.47) с Из сравнения кривых рис. 9.2 следует, что закон распределения (9.47) отличается от нормального (он имеет большие значения на краях и в центре).