12.4. Циклические системы

Циклические перестановки. Допустим, что имеются две кодовые последовательности где -номер элемента. Положим, что и символы этих последовательностей принадлежат мультипликативной комплексно-сопряженной -ичной группе. Если то будем называть сигнал многофазным. Кодовым последовательностям можно поставить в однозначное соответствие кодовые последовательности символы которых и принадлежат аддитивным -ичным группам. Как следует из материала гл. 9, образование КФ сводится к перемножению символов и где — знак комплексной сопряженности, с последующим суммированием. При переходе к

символам определяется через разности этих символов по

Для построения системы сигналов, которые исследуются в данном параграфе, выберем кодовые последовательности обладающие следующим циклическим свойством: разность по кодовой последовательности и ее циклической перестановки является другой циклической перестановкой исходной кодовой последовательности, т. е.

где Циклические перестановки получаются так: исходная кодовая последовательность где продолжается периодически, т. е. записывается в виде бесконечной последовательности

Исходная последовательность начинается с символа а (0) и заканчивается символом Циклическая перестановка начинается с символа при и заканчивается символом при

Аналогично (12.65) определяется циклическое свойство последовательности а именно:

Равенства (12.65), (12.66) выполняются для -последовательностей [25] в соответствии с аддитивно-циклическим свойством и для последовательностей, построенных по правилу

где первообразный корень уравнения [63],

и является простым числом, Для последовательностей вида (12.67) имеем

Так как первообразный корень, то и поэтому при Следовательно, где и из (12.69) имеем

что и определяет равенство (12.65).

Циклические системы. Пусть последовательности обладают циклическим свойством (12.65), (12.66). Циклическая система состоит из последовательностей где символы которых определяются равенством

Каждая последовательность циклической системы равна разности между последовательностью и циклической перестановкой т. е.

Можно доказать, что последовательности системы (12.72) являются симплексными. Отметим, что циклические системы являются производными, так как система последовательностей является исходной, а последовательность производящей. В данном параграфе приведены результаты [73]. Некоторым вопросам построения циклических систем и расчету их корреляционных функций посвящены работы [141, 228].

Корреляционные функции циклических систем. Поскольку символы последовательностей относится к мультипликативной группе, то взаимокорреляционная функция (ВКФ) определяется

в соответствии с (9.2), (9.4), (9.25) следующим образом:

Отличие (12.73) от (9.25) заключается в пределах суммирования. Это изменение не имеет принципиального значения, но более удобно при исследовании.

Используя свойства образующих последовательностей и определение (12.71), запишем

где некоторые циклические перестановки образующих последовательностей.

Тригонометрическую сумму правой части выражения (12.73) можно представить в виде тройной суммы, используя метод И. М. Виноградова [63]. Такое усложнение позволяет найти оценки правой части (12.73) Итак, имеем:

Правые части (12.73) и (12.75) равны [73].

Оценки корреляционных функций. Обозначим периодическую ВКФ образующих последовательностей (12.74)

а периодическую ВФН

где определяет дискретные значения доплеровской частоты. Оценки будем находить отдельно для Модуль части суммы (12.75), соответствующей удовлетворяет следующему неравенству:

где максимум обеспечивается перебором всех и выбором максимального значения. Неравенство (12.78) объясняется тем, что согласно (12.74) разность равна разности двух образующих последовательностей с различным сдвигом между ними. Одно из значений при изменении совпадает со значением левой части (12.78).

Для оставшейся части суммы (12.75) при получаем]

Множитель в квадратных скобках правой части неравенства (12.79)

не зависит от выбора образующих последовательностей. Обозначим его

Для тригонометрической суммы (12.80) при известна оценка И. Виноградова [63. с. 51]

Используя (12,78) — (12,81), находим оценку модуля максимальных боковых пиков

Для построения системы минимаксных сигналов (у которых максимальные пики минимальны) необходимо, чтобы периодические ВКФ и ВФН образующих сигналов имели малые боковые пики. В общем случае регулярного метода построения таких сигналов нет.

Для двоичных -последователь-ностей известен метод Голда [201, 208, 209], позволяющий выбирать пары образующих -последова-тельностей. Этот метод основан на выборе последовательностей в соответствии со свойствами многочленов. Известно [25, 121], что каждой -последовательности длины где некоторое целое число, соответствует свой неприводимый многочлен степени Неприводимым называется такой многочлен, который не может быть представлен в виде произведения многочленов с меньшими степенями. Каждому корню многочлена степени может быть поставлен в соответствие элемент поля Галуа (кодовая последовательность полного кода длины за исключением элемента, состоящего из одних нулей). Всего ненулевых элементов имеется Корень а, все степени которого дают различные элементы поля, называется первообразным или примитивным [63, 121]. Неприводимый многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля, называется примитивным. В соответствии с методом Голда образующим -последовательностям должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются для первой и для второй последовательностей, где I — любое целое число, взаимнопростое с Выбираются такие последовательности достаточно просто с помощью таблиц неприводимых многочленов [121]. Если -последовательности выбраны по методу Голда, то их ВКФ являются трехуровневыми, т. е. принимают только три значения [208, 209]:

Вероятности появления этих значений равны

Периодические ВКФ циклической системы могут принимать только значения (12.83), причем вероятности (12.84) соответствуют случаю усреднения по всем ВКФ всех циклических перестановок. Дисперсия периодических ВКФ по определению равна что совпадает с полученным ранее результатом (9.60) для полного кода. Отметим, что максимальные боковые пики для полного кода можно оценить по формуле в то время как (12.83) дает значения в два раза меньше.

Таким образом, оценка первого слагаемого в (12.82) дается максимальным значением (12.83), равным показано, что

максимум модули периодической ВФН

Подставляя в (12.82) оценки (12.83), (12.85), находим оценку максимальных пиков ВКФ циклической системы:

Пример расчета. Для трех значений найдены оценки максимальных боковых пиков ВКФ циклических систем. Результаты расчета приведены в табл. 12.6.

Как видно из табл. 12.6, оценки макс достигают больших значений и существенно превышают утроенное среднеквадратическое значение Это объясняется тем, что эти оценки пропорциональны На самом деле максимальные пики будут меньше.

Таблица 12.6. (см. скан)

Были рассчитаны все АКФ и ВКФ циклической системы для [73]. Образующие -последовательности строились на основе примитивных многочленов Многочлену соответствует последовательность с начальными условиями многочлену последовательность Нормированное значение максимальных боковых пиков удовлетворяет неравенству что близко к значению табл. 12.6.