8.2. Дискретные частотные сигналы произвольного порядка

Комплексная огибающая ДЧ сигнала порядка К определяется выражением (1.73). Такой сигнал состоит из временных элементов, каждый из которых является суммой К частотных элементов. По частоте имеется возможных значений частот элементов. Поэтому максимально возможное число частотных элементов не может превышать т. е. для К имеем неравенство Пример распределения энергии элементов на частотно-временной плоскости был приведен на рис. 1.8.

Объем класса ДЧ сигналов порядка К. Обозначим через Рам — основание амплитудной манипуляции, а через ром — основание фазовой манипуляции. При этом амплитуда и фаза каждого элемента ДЧ сигнала согласно (8.1) может быть выбрана способами. К частотных элементов по частоте занимают позиций из Так как порядок расположения элементов на К позициях не имеет значения, то размещение К элементов является сочетанием К элементов из [132], или -сочетанием. Число таких сочетаний равно биномиальному коэффициенту

Амплитуда и фаза каждого К-сочетания согласно формулам (8.1), (8.2) может быть выбрана способами. Поскольку имеется См К-сочетаний из то число различных выборов каждого временного элемента (основание манипуляции класса) в соответствии с правилом произведения равно

Используя (8.2), находйм объем класса ДЧ сигналов порядка К:

В случае ДЧ сигналов первого порядка и из (8.5) имеем

В этой формуле является основанием манипуляции по частоте.

Объем зависит от четырех параметров: С ростом объем увеличивается монотонно, а при изменении К он достигает максимума при некотором оптимальном

значении , которое зависит от значения Найдем и

Обозначим

Из (8.5) имеем

Поскольку логарифм — монотонно возрастающая функция, то максимум имеет место при том же значении что и . Из (8.8) следует, что при и , где целая часть т. е. . С увеличением оптимальное значение растет. Поскольку 1 то для имеем неравенство

Если то биномиальный коэффициент (8.3) можно заменить следующей асимптотической формулой:

Формула (8.9) соответствует замене биномиального закона распределения нормальным законом со средним значением и дисперсией Подставляя (8.9) в (8.8), получаем

Производная

Приравнивая нулю производную (8.11) и решая полученное уравнение, находим

Из (8.12) следует, что с ростом растет Очевидно, что макс не может превысить так как Подставляя (8.12) в (8.10), с точностью до малых более высокого порядка получаем

где

Можно показать, что при изменении от 1 до 16 величина х меняется практически линейно от 0,3 до 1, т. е. при этом Следовательно, при указанных пределах изменения Подставляя (8.13) в (8.7) и переходя к имеем:

Оценка максимального объема класса ДЧ сигнала позволяет утверждать, что объемдостигает больших значений. Например, при имеем

Сравнение объемов ДЧ сигналов различных порядков. Из формул (8.5), (8.6) находим отношение

Так же как и отношение (8.15) зависит от четырех параметров. Увеличения приводят к монотонному возрастанию При изменении К имеет место максимум при Если положить то Копт Отсюда имеем

Используя приближенное значение (8.15), находим отношение

Выражение (8.16) дает верхнюю оценку отношения т. е. истинное значение будет меньше того, которое получится в правой части (8.16). Для точных расчетов необходимо вычислять (8.15) при всех значениях К и находить максимум.

Сравнение объемов ДЧ сигналов и дискретных сигналов. ДЧ сигнал располагается на частотно-временной плоскости, занимая полосу частот шириной где ширина спектра элемента сигнала, и отрезок времени где длительность элемента. Согласно (1.53) база ДЧ сигнала равна Для сравнения ДЧ и дискретных сигналов по объему предположим, что в качестве элементов используются простые сигналы и база В этом случае При такой базе число элементов в дискретном сигнале равно базе В. Полагая, что амплитудная и фазовая манипуляции каждого элемента производятся с теми же основаниями т. е. рдмром, то в соответствии с формулой (8.2) объем класса дискретных сигналов будет равен

Из формул (8.5), (8.17) находим отношение

Если отношение то объем класса ДЧ сигналов порядка К больше объема класса дискретных сигналов; если то Для ДЧ сигналов первого порядка имеем отношение Если то отношение при 2, а если то при Таким образом, объем класса ДЧ сигналов первого порядка

при всегда меньше объема класса дискретных сигналов. Перейдем к сравнению объемов при произвольном К. Отношение

где у к определено формулой (8.8). Максимум согласно (8.12) имеет место при и равен в соответствии с где х из (8.14). Поэтому

Следовательно, если отношение то и объем класса дискретных сигналов больше объема класса ДЧ сигналов. Например, если то согласно и из (8.20) имеем

Отметим, что сравнение объемов частотных и ДЧ сигналов даст те же результаты, что получены в данном параграфе, так как частотные и дискретные сигналы дуальны с точностью до поворота на на частотно-временной плоскости (см. § 1.7). Другие комбинаторные свойства систем ДЧ сигналов будут приведены в гл. 14.