Глава 14. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ И ДИСКРЕТНЫХ СОСТАВНЫХ СИГНАЛОВ

14.1. Корреляционные функции дискретных частотных сигналов и число совпадений элементов

Определение, свойства и корреляционные функции дискретных частотных (ДЧ) сигналов были подробно рассмотрены в § 1.6, По-видимому, первые ДЧ сигналы упоминаются в работе [6], где были рассмотрены системы ДЧ сигналов небольшого объема. Развитие методов построения ДЧ сигналов нашло отражение в [46, 65, 68, 75 - 77, 99, 100, 117, 118, 131, 220]. В данном параграфе напомним основные определения ДЧ сигналов и определим взаимосвязь между их корреляционными функциями и числом совпадений элементов на частотно-временной плоскости.

Комплексная огибающая ДЧ сигналов. В § 1.6 была определена комплексная огибающая ДЧ в общем виде. Конкретизируем это определение так, чтобы можно было воспользоваться методами комбинаторики и теории чисел. Положим, что ДЧ сигнал первого порядка состоит из элементов, а все элементы имеют одинаковую форму Пусть номера элементов изменяются от 0 до комплексная амплитуда элемента, а положение элемента по частоте определяется сдвигом, равным где символ частотной кодовой последовательности причем при изменении меняется в таких же пределах от 0 до но в определенном порядке.

С учетом сделанных предположений комплексная огибающая ДЧ сигнала первого порядка в соответствии с (1.60) записывается следующим образом:

рричем здесь и в дальнейшем используется условие

где ширина спектра элемента, его длительность. Причем смещение соседних элементов по частоте равно а по времени Как видно из (14.1), изменение аргумента у элемента происходит линейно в соответствии с изменением а смещение по частоте — в соответствии с изменением Например, для ДЧ сигнала, показанного штриховкой на частотно-временной плоскости (рис. 14.1), ЧКП .

В § 1.6 была отмечена частотно-временная дуальность ДЧ сигналов первого порядка. Использование ее позволяет вдвое расширять применение тех или иных полученных результатов. Чтобы воспользоваться этим, преобразуем комплексную огибающую ДЧ сигнала, используя временную кодовую последовательность к следующему виду:

Рис. 14.1

В формуле (14.3) линейно меняется смещение по частоте в соответствии с изменением изменение аргумента у элемента происходит в соответствии с изменением символы которой изменяются в тех же пределах от 0 до но в определенном порядке. Например, для ДЧ сигнала, изображенного на рис.

Формулы (14.1), (14.3) и определяют частотно-временную дуальность ДЧ сигналов: в (14.1) отсчет производится по времени (по номерам дискретов а в (14.3) — по частоте (по сдвигу частоты, пропорциональному 7).

Корреляционные функции ДЧ сигналов первого порядка. Используя определение (1.69) ФН элемента и условие (14.2), из (1.70) можно получить ВФН сигналов (14.1), (14.3). Полагая и учитывая предположения, сделанные при определении комплексных огибающих (14.1), (14.3), из (1.74) найдем, что ВКФ ДЧ сигнала с ЧКП (14.1)

а ВКФ ДЧ сигнала с

Рассмотрим ВКФ (14.4), (14.5) в дискретных точках, полагая

Подставляя (14.6) в (14.4), (14.5), получаем:

Анализ ВКФ (14.7), (14.8) сущестенно упрощается, если использовать условия ортогональности элементов, которые сводятся к тому, что различные элементы не перекрываются во времени, а их спектры не перекрываются по частоте. Отметим, что такие условия не могут выполняться одновременно, так как спектр функции, ограниченной по длительности, имеет неограниченную ширину. Но для простоты анализа будем считать, что условия ортогональности имеют место. Поэтому положим, что в дискретных точках частотно-временной плоскости для ФН элемента выполняются условия ортогональности, а именно:

Используя условия ортогональности (14.9) и полагая из (14.7), (14.8) получаем оценку модуля ВКФ в дискретных точках

где число решений следующих систем уравнений:

Система (14.11) соответствует ВКФ (14.7), а система (14.12) — ВКФ (14.8). В этих системах X изменяется от до

Используя, одно из уравнений систем (14.11), (14.12) сведем эти системы к уравнениям:

Число решений целочисленных уравнений (14.13), (14.14) меньше числа решений соответствующих сравнений по модулю М:

Сравнения (14.15), (14.16) являются частными случаями сравнения

где

Если сравнение (14.17) имеет решений, то оценка (14.10) преобразуется к следующей

причем Если то формально но это будет в том случае, если всюду выполняется условие ортогональности (14.9). Но так как строгой ортогональности во всех дискретных точках добиваться нельзя, то при

Поскольку последовательности состоят из символов, принадлежащих к одному алфавиту ( то при изменении номеров рано или поздно возможно совпадение кодовых последовательностей, т. е. возможно решение сравнения (14.17). Если при данных имеет место одно решение (одно совпадение), т. е. то Увеличение числа решений приводит к следующему. Во-первых, к увеличению максимального уровня ВКФ согласно (14.18). Во-вторых, ухудшает использование отведенной полосы частот для сигнала (14.1) с так как спектры некоторых элементов будут совпадать: ухудшает использование отведенного времени и пик-фактор сигнала (14.3) с так как будут совпадать некоторые элементы. В-третьих, увеличивает число сигналов в системе. Именно третье следствие позволяет строить большие системы сигналов, но при условии Назовем ДЧ сигналы, обеспечивающие одно совпадение оптимальными. Они будут подробно исследованы в данной главе.