2.4. Сравнение двоичных и m-ичных систем передачи информации

При сравнении двоичных и -ичных СПИ необходимо иметь в виду, что объем алфавита источника и объем алфавита сигналов могут быть не равны между собой. Поэтому в зависимости от соотношения между ними применяются различные методы декодирования символов в символы . С этой точки зрения двоичные СПИ можно разделить на два класса: двоичные СПИ без декодирования или просто двоичные двоичные СПИ с -ичным декодированием .

К первому классу относятся в которых двоичные символы источника информации взаимно независимы и используются получателем информации независимо друг от друга. Примером двоичной СПИ может служить командная радиолиния управления, в которой каждый двоичный символ поступает по своему адресу. Ко второму классу относятся СПИ, у которых последовательность двоичных символов на выходе приемника преобразуется в -ичные символы. Примером двоичной СПИ с -ичным декодированием может служить двоичная СПИ, в которой непрерывная информация передается с помощью двоичной кодовой импульсной модуляции (КИМ), называемой некодированной КИМ [64].

В двоичной СПИ с -ичным декодированием при заданной скорости передачи информации Я длительность двоичных сигналов удовлетворяет равенству (2.12). Если один -ичный символ заменяет собой двоичных единиц, то согласно Будем полагать, что в дальнейшем равенство имеет место. Такие СПИ будем называть двоичными СПИ с -ичным декодированием.

Аналогично, -ичные СПИ можно разделить на два класса: -ичные СПИ без декодирования или просто -ичные -ичные СПИ с двоичным декодированием

К первому классу относятся СПИ, у которых получатель информации непосредственно использует -ичные символы. Например, при передаче непрерывной информации путем дискретизации по времени и квантовании по уровню каждый -ичный символ может быть непосредственно преобразован в квантованный отсчет. Такой метод передачи информации называется -ичной или

кодированной КИМ [64]. Ко второму классу относятся СПИ, в которых каждый -ичный символ преобразуется в последовательность из двоичных символов. Примером -ичной СПИ с двоичным декодированием может служить командная радиолиния управления, в которой для повышения помехоустойчивости применяется укрупненный алфавит сигналов, или СПИ, в которой передача информации осуществляется с помощью двоичной КИМ.

Сравнение двоичных и -ичных СПИ всех классов следует производить с учетом получателя информации. С этой точки зрения двоичные СПИ без декодирования и -ичные СПИ с двоичным декодированием эквивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация представлена в виде двоичных символов. При сравнении таких СПИ необходимо сравнивать вероятности ошибки, приходящиеся на один двоичный символ. Точно так же для получателя информации двоичные -ичным декодированием и -ичные СПИ без декодирования эквивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация представлена в виде -ичных символов. В таких СПИ необходимо сравнивать вероятности ошибки, приходящиеся на один -ичный символ. Перейдем к сравнению двоичных и -ичных СПИ.

Сравнение по мощности. Общий метод сравнения двоичных и -ичных СПИ заключается в том, чтобы найти выигрыш по мощности в -ичной СПИ при равных вероятностях ошибок [64, 171].

Сначала произведем сравнение двоичной СПИ без декодирования с -ичной СПИ с двоичным декодированием. Основы такого сравнения приведены в [64]. В -ичной СПИ с двоичным декодированием источник информации создает информацию в виде двоичных символов со скоростью Я. Кодер последовательно разбивает двоичные символы на кодовые последовательности из двоичных символов. Согласно (2.13) число различных кодовых последовательностей Затем кодер каждую кодовую последовательность преобразует в -ичный символ, который передается соответствующим сигналом. Назовем кодовую последовательность, соответствующую переданному сигналу, исходной. В приемнике восстанавливается -ичный символ, который затем преобразуется в кодовую последовательность из двоичных символов. Эту кодовую последовательность назовем восстановленной.

В случае правильного приема переданный и принятый -ичные символы совпадают, что приводит к совпадению исходной и восстановленной кодовых последовательностей во всех символах. Если произошла ошибка в приеме -ичного символа с вероятностью то переданный и принятый символ не совпадут. (Индекс подчеркивает, что вероятность ошибки относится -ичному символу.) Из-за симметричности канала на выходе приемника может появиться равновероятно любой из остальных -ичных символов, которые назовем ошибочными. В результате восстановленная кодовая комбинация равновероятно может быть любой из ошибочных кодовых комбинаций. При этом исходная и восстановленная

кодовые комбинации отличаются друг от друга, причем отличие сводится к тому, что часть символов или все символы в этих кодовых последовательностях при позиционном сравнении (по номерам) будут различны. Но некоторые символы могут совпадать, даже если произошла ошибка. Этот факт необходимо учитывать при расчете вероятности ошибки, приходящейся на один двоичный символ. Эта вероятность согласно [64] равна

Обозначим ошибку при приеме двоичного символа в двоичной СПИ через Рошг Приравнивая вероятности ошибки в двоичном символе двоичной СПИ без декодирования и -ичной СПИ с двоичным декодированием Рошг и подставляя в (2.43), имеем

Таким образом, если имеет место равенство (2.44), то двоичная СПИ без декодирования и -ичная СПИ с двоичным декодированием эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки в одном двоичном символе. Вероятности определяются или формулой (2.32), или (2.33) при

Основы сравнения -ичных СПИ без декодирования и двоичных СПИ с -ичным декодированием можно найти в ], где вычисляется вероятность ошибки, приходящаяся на один -ичный символ. Пусть вероятность ошибки при приеме двоичного символа в двоичной -ичным декодированием. Вероятность правильного приема одного двоичного символа равна а вероятность правильного приема двоичных символов равна так как она равна вероятности того, что все символов приняты правильно. Поэтому вероятность ошибки при приеме двоичных символов (одного -ичного символа)

Вероятность ошибки при приеме -ичного символа в -ичной СПИ обозначим, как и раньше, через Рошт. Приравнивая вероятности ошибок, приема двоичных единиц двоичной и -ичной подставляя в (2.45), получаем

Таким образом, если имеет место равенство (2.46), то двоичная -ичным декодированием и -ичная СПИ без декодирования эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки при приеме одного -ичного символа двоичных единиц). Если то из (2.46) находим

Формула (2.47) определяет эквивалентную вероятность ошибки, приходящуюся на одну двоичную единицу информации в -ичной

СПИ. Можно заметить, что вероятности ошибки, приходящиеся на одну двоичную единицу, рассчитанные по формулам (2.44), (2.46), (2.47), будут различны. Это различие определяется следующим. При расчете вероятности ошибки в -ичной СПИ с двоичным декодированием было показано, что ошибка в -ичном символе приводит лишь к ошибке в части двоичных символов. При пересчете вероятности ошибки в -ичной СПИ без декодирования к вероятности иошбки, приходящейся на один двоичный символ, было положено, что ошибка в -ичном символе приводит к ошибке во всех двоичных символах.

Рис. 2.8

Конкретизируем общие формулы для сравнения СПИ, полагая, что прием некогерентный. В соответствии с этим в (2.43) и (2.45) будем подставлять значения вероятностей ошибок, рассчитанные по (2.33) при и по (2.26) при Напомним, что (2.26) частный случай (2.33) при

На рис. 2.8 представлены графики вероятностей ошибок построенные по формулам (2.26), (2.33), (2.43), (2.45). Аргументом, как и ранее, является отношение сигнал/шум приходящееся на один двоичный символ. Графики построены для Из графиков следует, что при имеют место неравенства

Из неравенств видно, что наилучшую помехоустойчивость обеспечивает -ичная СПИ с двоичным декодированием. Особенно это заметно в области малых отношений сигнал/шум Рисунок 2.8 показывает, что -ичные СПИ обеспечивают большую помехоустойчивость по сравнению с двоичными СПИ независимо от метода декодирования.

Четыре кривые рис. 2.8 при заданной вероятности ошибки соответствуют различным значениям отношения сигнал/шум. Обозначим их следующим образом. Будем считать, что вероятности ошибки в двоичной СПИ без декодирования соответствует где первый индекс 2 в правой части равенства после запятой равен объему алфавита сигналов а второй индекс — объему алфавита источника соответственно вероятности ошибки

Отношения

определяют выигрыш по мощности -ичных СПИ перед двоичными. Отношение характеризует выигрыш -ичной СПИ с двоичным декодированием относительно СПИ без декодирования, а -выигрыш -ичной СПИ без декодирования относительно СПИ с -ичным декодированием. Выражения (2.48) показывают, во сколько раз мощность сигнала (или отношение сигнал/шум) в -ичной СПИ должна быть меньше мощности сигнала (отношения сигнал/шум) в двоичной СПИ при одной и той же вероятности ошибки.

Рис. 2.9.

Выразим в явном виде отношения как функции или [20]. Рассмотрим сначала Подставляя в (2.44) вероятности ошибки (2.26), (2.35) с заменой на соответственно и учитывая, что в логарифмируем полученное равенство. После преобразования находим, что

Заменяя согласно (2.13) и преобразуя (2.49) с учетом обозначения (2.48), получаем

Аналогично из равенства (2.47) следует [26]:

Если

На рис. 2.9 представлены кривые, построенные по (2.50), (2.51) в зависимости от при двух значениях . С ростом выигрыш -ичных СПИ растет, причем, чем больше (меньше вероятность ошибки в двоичной СПИ без декодирования), тем больше этот выигрыш. С ростом выигрыш по мощности уменьшается и при больших стремится к предельному значению. При больших При кривые стремятся к пределу, определяемому пороговым значением отношения сигнал/шум Поэтому при

Следовательно, предельное значение соответствии с (2.48) и сделанными значениями равно

Из (2.52) видно, что чем больше выигрыш по мощности -ичной СПИ, тем больше отношение сигнал/шум в исходной двоичной СПИ.

Сравнение по полосе частот. Выигрыш по мощности -ичных СПИ перед двоичными приводит к расширению полосы частот, занимаемой сигналами -ичной СПИ. Чтобы оценить проигрыш по частоте -ичной СПИ перед двоичной, ширина этой полосы частот равна ширине полосы частот занимаемой ортогональными сигналами. Положим, что

где длительность -ичного сигнала, а — постоянная величина, равная примерно зависящая от метода определения ширины спектра и не меняющаяся для систем сигналов, принадлежащих к выбранному классу. Формула (2.53) справедлива для всех известных сигналов. Например, для системы ортогональных сигналов в виде функций отсчета постоянная а для системы сигналов в виде экспонент

Полагая и используя (2.14), получаем ширину полосы частот, занимаемую двоичной

Используя соотношения (2.13), (2.14), находим

Проигрыш -ичной СПИ по частоте по сравнению с двоичной равен

Зависимость (2.55) приведена на рис. 2.9. Отметим, что при Это означает, что четверичная не проигрывает двоичной по частоте, а в то же время имеет выигрыш по мощности в полтора-два раза. При больших проигрыш по частоте растет чрезвычайно быстро по показательному закону. При проигрыш по частоте растет гораздо быстрее выигрыша по мощности.