1.4. Комплексная огибающая сигнала и ее спектр

Радиосигнал содержит быстроменяющийся множительта виде косинусоиды, в аргумент которой входит несущая частох Соответственно спектр (1.2) этого сигнала состоит из двув частотных полос, сосредоточенных около частот При

теоретических исследованиях целесообразно для упрощения промежуточных математических операций «освободить» сигнал и его спектр от несущей частоты Это можно осуществить при введении комплексной огибающей сигнала. Однако комплексная огибающая сигнала и ее спектр позволяют не только упрощать математические операции, но также дают возможность более наглядно представить свойства сигнала. Поэтому в большинстве случаев исследования сигналов заканчиваются тогда, когда изучены свойства комплексной огибающей и ее спектра.

Комплексная огибающая радиосигнала определяется как

где модуль является огибающей сигнала Переход от комплексной огибающей к сигналу осуществляется с помощью следующей формулы:

где действительная часть.

На рис. 1.1,г была изображена комплексная огибающая ФМ сигнала рис. 1.1, а. Она представляет собой последовательность прямоугольных видеоимпульсов и является действительной функцией времени. Это обусловлено тем, что начальные фазы импульсов ФМ сигнала принимают одно из двух значений 0 или . В общем случае комплексная огибающая содержит и действительную, и мнимую составляющие (см., например, [25]), но всегда является видеосигналом, чем и объясняется переход к ней от радиосигнала.

Спектр комплексной огибающей

Комплексная огибающая сигнала находится согласно обратному преобразованию Фурье

Спектр комплексной огибающей можно представить в виде

где амплитудный, а фазовый спектры.

Спектр сигнала и спектр его комплексной огибающей связаны соотношением [25, 170]

где — знак комплексной сопряженности.

Так как комплексная огибающая видеосигнал, то спектр расположен в области видеочастот.

Энергия сигнала и комплексная огибающая. Подставляя в (1.5) выражение (1.1), получаем

Для сигналов, у которых второе слагаемое много меньше первого и им можно пренебречь. В результате имеем выражение для энергии сигнала через модули комплексной огибающей и ее спектра

Рис. 1.9

Поскольку то, заменяя второй множитель согласно (1.14) и подставляя полученное произведение в (1.15), находим

Подынтегральное выражение в (1.16) так же, как и в случае радиосигнала (см. (1.6)), характеризует распределение энергии сигнала на частотно-временной плоскости. Поскольку комплексная огибающая является видеосигналом, то базисный прямоугольник, на котором распределена основная часть энергии сигнала, будет расположен так, как это показано на рис. 1.9, а. Базисный прямоугольник рис. 1.9, а получается из базисного прямоугольника рис. 1.2, при смещении последнего вниз по частоте на величину чему и соответствует переход от радиосигнала с несущей частотой к его комплексной огибающей. (Деление базисного прямоугольника на квадраты на рис. 1.9, а не изображено.) Аналогично могут быть получены базисные прямоугольники комплексных огибающих из базисных прямоугольников исходных радиосигналов.

Площадь базисного прямоугольника равна где ширина спектра комплексной огибающей сигнала, совпадающая с шириной спектра сигнала, длительность комплексной огибающей сигнала, равная длительности сигнала.

В зависимости от того, как расположен спектр радиосигнала относительно несущей частоты, расположение базисного прямоугольника на частотно-временной плоскости может быть иным, чем это изображено на рис. 1.9, а. Если спектр радиосигнала расположен несимметрично относительно частоты то базисный прямоугольник будет несимметричен относительно оси времени (рис. 1.9, б).

В дальнейшем будем использовать изображение базисного прямоугольника в первом квадранте частотно-временной плоскости, как представлено на рис. 1.9, б, поскольку это не будет приводить к ошибкам.