4.1 Корреляционные и статистические свойства взаимной помехи

При анализе кодового разделения в предыдущем параграфе относительно применяемых сложных сигналов было сделано лишь одно предположение, что ширина спектра сложного сигнала должна быть равна ширине общей полосы частот. Поскольку выполнить это условие можно достаточно просто, то может создаваться впечатление, что в ААС с кодовым разделением применимы любые системы сигналов. Однако детальное исследование вопроса выбора систем сигналов показывает, что различные системы сигналов обеспечивают различную помехоустойчивость. В то же время в формулу (4.2), кроме ширины спектра, не входят иные свойства систем сигналов. Такое различие между результатом (4.2) и влиянием свойств систем сигналов на помехоустойчивость объясняется двумя основными допущениями, которые были сделаны при выводе формулы (4.2): во-первых, предполагалось, что взаимная помеха нормализуется, и во-вторых, что ее спектральная плотность в общей полосе частот равномерна. Однако и то, и другое предположение могут не выполняться, что в значительной мере определяется свойствами используемой системы сигналов. Для выяснения влияния свойств систем сигналов на помехоустойчивость ААС с кодовым разделением перейдем к корреляционному определению взаимной помехи, основы которого приведены в работе [56]. Обобщение корреляционного метода определения взаимной помехи и выбор сигналов для ААС дан в [31].

Корреляционное определение взаимной помехи.

Рассмотрим работу приемника абонента. Если число абонентов в ААС, то Поскольку выделение информации происходит на выходе приемника, определим характеристики сигнала и взаимной помехи на выходе. Допустим, что информация передается двумя противоположными сигналами и осуществляется когерентный прием. Оптимальный приемник абонента состоит из согласованного фильтра и решающего устройства (см. рис. 2.4, б). На входе приемника действует сумма полезного сигнала (последовательность сложных сигналов, манипулированных последовательностью информационных символов) и взаимной помехи, которая в свою очередь является суммой мешающих сигналов. Нормированное напряжение на выходе согласованного фильтра будет равно сумме автокорреляционных функций (АКФ) от полезных сигналов и взаимокорреляционных функций (ВКФ) от мешающих сигналов.

По определению (1.23) АКФ сигнала

а ВКФ -го и сигналов с равными энергиями (1.21)

Решающее устройство принимает решения в момент окончания полезных сигналов, т. е. полагаем, как и ранее, что в приемнике есть синхронизатор, который обеспечивает синхронный отсчет информации.

Если на входе фильтра действует только. полезный сигнал, то значение напряжения на его выходе в момент принятия решения (момент отсчета) равно ±1, поскольку оно равно максимальному значению АКФ с учетом знака передаваемого информационного символа. При действии мешающего сигнала значение ВКФ в момент отсчета равно где произвольное значение аргумента, При непрерывной передаче информационных символов абонентом в момент отсчета напряжение будет равно

где случайные величины, определяемые знаками информационных символов; случайный сдвиг во времени начала работы абонента. Таким образом, величина случайна из-за случайности информационных символов и случайного сдвига во времени начала работы абонента.

Пронумеруем номера мешающих абонентов так, чтобы Взаимная помеха в момент отсчета есть сумма напряжений вида (4.16):

Индекс означает, что соответствует одному из возможных сочетаний мешающих абонентов, число которых определяется биномиальным коэффициентом

Обозначим через произвольное значение т. е. Так как случайная величина, то и случайная величина. Аналогично, Поскольку имеют одни и те же значения, что и но только в различные моменты времени, то С учетом принятых обозначений, из (4.17) получаем:

Величина случайная, так как, во-первых, она сумма случайных величин во-вторых, сумма случайного числа слагаемых по различным сочетаниям. Таким образом, случайная величина взаимная помеха в момент отсчета, представляет собой функцию следующих случайных величин: 1) числа (мешающих

абонентов номеров мешающих абонентов (различных сочетаний информационных символов 4) момента начала работы абонента

Для выяснения влияния взаимной помехи на помехоустойчивость в дальнейшем будет определена вероятность ошибки, которая является функцией следовательно, функцией перечисленных случайных величин. Отметим их основные характеристики.

Число мешающих абонентов так же как и число активных абонентов, определяется биномиальным законом распределения

Поскольку является функцией то и ее плотность вероятности будет функцией случайной величины Поэтому все возможные функции от необходимо усреднять по В соответствии с известными результатами [104] среднее значение функции определяется равенством:

где символ I под означает усреднение по В общем случае такое усреднение произвести довольно трудно, так как слагаемые в (4.18) имеют различные функции распределения. Для простоты, когда в окончательные расчетные формулы I будет входить в явном виде, будем подразумевать под I ее среднее значение в соответствии с (3.6). Основанием для этого является то, что среднее значение суммы случайного числа одинаково распределенных случайных величин равно произведению среднего значения числа слагаемых на среднее значение случайной величины [104].

Относительно изменения номеров мешающих абонентов следует заметить, что все возможные сочетания равновероятны. Поэтому вероятность появления какого-либо сочетания равна 1

Информационные символы 1 и —1, по предположению, равновероятны. Поэтому их плотность вероятности

где дельта-функция.

Относительно момента начала работы абонента будем предполагать, что распределено равновероятно на интервале Такое предположение справедливо потому, что если ВКФ от мешающего сигнала попадает на момент отсчета, то ее смещение не превышает

Прежде чем перейти к определению плотности вероятности взаимной помехи, остановимся на корреляционных и статистических свойствах ВКФ.

Корреляционные и статистические свойства ВКФ.

Обозначим плотность вероятности случайной величины как Хотя сама ВКФ является детерминированной функцией времени, но из-за случайной задержки ее отсчетное значение случайная величина. Так как ВКФ с различными номерами отличаются друг от друга, то их функции распределения и моменты также будут различны. Сначала найдем функцию распределения и моменты при непрерывном определении ВКФ (4.15). При этом будем предполагать, что ВКФ действительная функция.

Как было отмечено, величина случайна потому, что из-за случайной задержки попадает на момент отсчета произвольно. Для определения случайной величины надо предположить, что аргумент ВКФ принимает произвольные значения на отрезке Поскольку равномерно распределена внутри отрезка то плотность вероятности случайной величины

Случайные величины связаны функциональной зависимостью

Поэтому для нахождения плотности вероятности необходимо воспользоваться общим правилом определения плотности вероятности функции случайной величины [104]. Поскольку обратная функция неоднозначна, то плотность вероятности будет равна сумме плотностей вероятности от каждого однозначного участка функции Пусть таких участков будет Согласно [104] имеем

где обратная функция и ее производная на участке однозначности. Используя (4.22), из (4.24) получаем

Найдем начальный момент случайной величины По определению

Подставляя в (4.26) функцию распределения (4.25) с учетом участков однозначности, получаем

где x и границы участка однозначности. Напомним, что в интегралах (4.26), (4.27) аргумент соответствует случайной величине Поскольку связаны функциональной зависимостью (4.23), то можно перейти к новой переменной в интеграле (4.27). При этом пределы интегрирования преобразуются в что определяется обратной функцией произведение поскольку степень В результате получаем

Суммируя, находим, что

Полученная формула (4.29) позволяет находить моменты случайной величины по детерминированной ВКФ .

Найдем теперь закон распределения случайной величину и ее моменты при дискретном определении ВКФ. Пусть ВКФ определена в дискретных точках при значениях целое число. Если дискретный фазоманипулированный сигнал определяется кодовой последовательностью где число символов сигнал — кодовой последовательностью то ВКФ таких сигналов в точках определяется соотношением (1.125), которое для записывается так:

Поскольку дискретный сигнал имеет конечное число различных градаций символов (в простейшем случае ФМ сигналов то ВКФ также имеет конечное число различных значений. Поэтому для определения случайной величины достаточно найти вероятности, с которыми она принимает то или иное значение. ВКФ имеет всего значение, но из них два крайних равны нулю тождественно. Так как при непрерывной передаче информации последний нуль одной ВКФ совпадает с первым нулем ВКФ, запаздывающей на относительно исходной, то будем учитывать только первый нуль, т. е. считать в каждой ВКФ боковых пиков. Каждый из боковых пиков данной ВКФ имеет равную вероятность попасть на момент отсчета, если данная ВКФ попадает на этот момент. Пусть число появлений данного значения Тогда вероятность появления данного значения равна

В соответствии с определением [104] начальный момент

где суммирование производится по всем Подставляя (4.31) в (4.32), получаем

Переходя от суммирования по к последовательному суммированию значений ВКФ, находим

Таким образом, начальный момент случайной величины при дискретном определении ВКФ пропорционален сумме значений ВКФ, взятых в степени. Суммирование в (4.34) производится по всем X, при которых не равна тождественно нулю.