Плотность распределения взаимной помехи при приеме ортогональных сигналов.

Плотность распределения (4.51) была получена при условии, что осуществляется прием противоположных сигналов. Кратко остановимся на тех особенностях, которые имеют место при приеме ортогональных сигналов. Предположим, что все абоненты осуществляют передачу информации при помощи двух ортогональных сигналов. Рассмотрим взаимную помеху на выходе одного из согласованных фильтров абонента, если на его входе действуют сигналы от мешающих абонентов. Используя такой же метод определения взаимной помехи, что и при передаче информации двумя противоположными сигналами (см. формулу (4.17)), можем записать взаимную помеху в момент отсчета при передаче ортогональных сигналов в виде [43]

В этом выражении в отличие от (4.17) информационные символы с вероятностями, равными 1/2. Когда то а когда до Поэтому квадратная скобка в (4.54) содержит также два слагаемых, как и в (4.17). Индексы в (4.54) соответствуют двум ортогональным сигналам абонента, которые служат для передачи информационных символов «0» и «1». В общем случае ВКФ с индексами и не равны тождественно друг другу, как в случае противоположных сигналов. Это является основной причиной отличия взаимной помехи (4.54) от (4.17). При противоположных сигналах исходная плотность распределения (4.36) симметрична относительно начала координат. А это означает, что все нечетные моменты взаимной помехи (4.17) равны нулю. При ортогональных сигналах плотность распределения произвольной ВКФ может и не быть симметричной. Поэтому ее нечетные моменты могут быть и не равны нулю. Следовательно, их необходимо учитывать при определении плотности распределения взаимной помехи (4.54). Поскольку при разложении плотности распределения основное значение среди нечетных моментов имеют первый начальный момент или среднее значение) и третий центральный момент, выражаемый через коэффициент асимметрии, то имеет смысл рассматривать только эти нечетные моменты. Однако для большинства В КФ среднее значение тождественно равно нулю, и лишь для немногих мало отличается от нуля. Поэтому положим, что среднее значение ВКФ равно нулю и будем учитывать только третий центральный момент.

Используя тот же метод [31], который был применен для определения плотности вероятности можно показать, что плотность вероятности нормированной взаимной помехи с (4.42), где с определено согласно (4.54),

представляется следующим выражением:

где

коэффициенты асимметрии определяются согласно общей формуле [104]

а коэффициенты эксцесса согласно (4.53); многочлены Эрмита. Из формулы (4.56) следует, что с является среднеарифметическим значением дисперсий ВКФ мешающих абонентов; из формулы (4.52) видно, что а и с является средневзвешенным значением коэффициентов асимметрии из формулы (4.58) видно, что является смещенным средневзвешенным значением коэффициентов эксцесса у.

При когерентном приеме ортогональных сигналов знание плотности вероятности (4.55) мгновенного значения взаимной помехи достаточно для расчета помехоустойчивости. При некогерентном приеме необходимо иметь плотность распределения модуля взаимной помехи. Для ее определения используем известный метод нахождения плотности вероятности модуля суммы двух независимых взаимно перпендикулярных векторов [104]. Обозначим модуль взаимной помехи равен

где независимые случайные величины, законы распределения которых определяются формулой (4.55). Плотность вероятности модуля рис определяется общим соотношением [104]

так как Заменяя в (4.55) аргумент x на и подставляя полученные выражения в (4.61) и производя интегрирование, получаем:

где многочлены

Второе и третье слагаемое в квадратных скобках (4.62) определяют отличие закона распределения от релеевского. Чем они меньше, тем меньше отличие. Отметим, что коэффициент асимметрии входит в (4.62) в виде квадрата, т.е. любая асимметрия исходного распределения (4.55) приводит к увеличению различия между распределением (4.62) и релеевским.