7.2. Помехоустойчивость приема сложных сигналов с реальными корреляционными функциями

Как известно [56, 78, 95, 170, 183], применение сложных сигналов позволяет повысить разрешающую способность и точность измерения дальности и скорости в радиолокации, осуществить кодовое разделение многих абонентов в радиосвязи. Однако наличие боковых пиков у функции неопределенности (ФН) реальных сложных сигналов приводит к увеличению неоднозначности при совместном измерении дальности и скорости, к увеличению времени вхождения в синхронизм. Поэтому при выборе или при синтезе сложных сигналов в процессе проектирования радиотехнических систем исследователи всегда старались найти сигналы с малыми боковыми пиками ФН (иногда такие сигналы называют сигналами с хорошими корреляционными свойствами). Обычно боковые пики даже если они малы, могут существенно отличаться друг от друга по величине. При этом необходимо определить: влияние боковых пиков на характеристики обнаружения сигналов и измерения их параметров; правило уменьшения боковых пиков, чтобы улучшить эти характеристики, а также найти условия малости боковых пиков. Кроме того, всегда желательно иметь приближенные соотношения,

позволяющие хотя бы грубо оценить ухудшение характеристик обнаружения и измерения из-за наличия боковых пиков.

Приближенное решение задачи по определению влияния боковых пиков на характеристики обнаружения сложных сигналов приведено в работе [26]. Поскольку и в радиолокации, и в радиосвязи обнаружение сигналов сопровождается измерением их параметров (задержка во времени, сдвиг несущей частоты и т. п.), то необходимо определять влияние боковых пиков на характеристики обнаружения сложных сигналов и измерения их параметров. Результаты этого исследования опубликованы в работе [36] и приведены в данном параграфе.

Основные определения и предположения.

При обнаружении сигнала и измерении его параметров колебание на входе приемника может быть или шумом (помехой) или суммой сигнала и шума (помехи). Предположим, что на вход приемника воздействует шум в виде нормального стационарного случайного процесса с нулевым средним и с равномерной спектральной плотностью мощности Допустим, что сигнал представляет собой последовательность сложных сигналов одинаковой формы, длительность которых равна длительности периода повторения. Пусть энергия каждого сигнала равна а ширина его спектра Предположим, что параметры сигнала — задержка и доплеровская частота могут изменяться дискретно. Пусть задержка изменяется с шагом равновероятно на интервале шириной Число дискретных значений задержки Аналогично, пусть доплеровская частота изменяется с шагом на интервале шириной Число дискретных значений частот Общее число дискретных точек

Определим структуру оптимального приемника. При сделанных предположениях относительно доплеровской частоты он будет многоканальным, причем число каналов равно числу дискретных значений доплеровских частот Допустим, что начальная фаза сигнала является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале и в то же время постоянной для наблюдаемой последовательности сложных сигналов. В этом случае каждый канал должен состоять из согласованного фильтра для сложного сигнала, когерентного накопителя и детектора огибающей [105]. Напряжения с выходов детекторов всех каналов поступают на решающее устройство, которое выбирает максимальное отсчетное значение огибающей (отсчет) из всех значений, превысивших порог. Уровень порога определяется заданной вероятностью ложной тревоги, которая зависит только от шума. Решающее устройство определяет координаты максимального отсчета на плоскости и выдает эти координаты в качестве оценок задержки и доплеровской частоты.

Характеристиками процесса обнаружения сигнала и измерения его параметров являются вероятность правильного обнаружения сигнала с оценкой его параметров и вероятность ложной тревоги.

От свойства сигнала и его ФН зависит только вероятность правильного обнаружения. Поэтому в дальнейшем рассматривается именно эта вероятность.

В общем случае боковые пики ФН обуславливают статистическую зависимость всех отсчетов. Учет этой зависимости сильно усложняет задачу. Поэтому целесообразно определить условие, при котором можно пренебречь статистической зависимостью отсчетов на том основании, что обычно боковые пики ФН существенно меньше единицы. Чтобы найти такое условие, рассмотрим два коррелированных отсчета.

Обозначим через отсчет в некоторой дискретной точке на плоскости При накоплении сложных сигналов отсчет сигнальной составляющей на выходе накопителя будет равен

где максимальное значение с постоянной . В этом случае дисперсия шума записывается в виде а отношение сигнал/шум Возьмем два произвольных отсчета напряжения на выходе накопителя, обозначая их х и у, а соответствующие им сигнальные составляющие причем определяются согласно (7.8) при Обозначим коэффициент корреляции случайных нормальных величин х и у через Значение совпадает с боковым пиком координаты которого на плоскости равны разностям между координатами отсчетов х и у по времени и частоте.

Совместная плотность вероятности отсчетов х и у записывается следующим образом [104]:

Если то и случайные величины становятся независимыми, что является характерным для нормальных случайных величин [104]. При этом линия уровня, определяемая уравнением является окружностью. Если то это приводит, во-первых, к уменьшению множителя во-вторых, к изменению формы линии уровня, которая превращается в эллипс. Чтобы снизить уменьшение необходимо иметь Например, если положить то множитель уменьшится на 0,1 своей величины. Можно показать, что отношение модуля разности между величиной оси эллипса (большой или малой) и диаметром окружности к диаметру приближенно равно Следовательно, если то с изменением формы линии уровня можно не считаться. Например, если то

Таким образом, если боковые пики то практически функция распределения (7.9) будет мало отличаться от произведения в этом случае отсчеты х и у можно считать статистически независимыми. Аналогичный результат был получен при исследовании влияния малого коэффициента корреляции на вероятность превышения определенного порога хотя бы одним отсчетом. Оказалось, что если то отсчеты можно считать статистически независимыми. Считая условие выполненным, будем полагать в дальнейшем отсчеты статистически независимыми.

Вероятность правильного обнаружения.

Согласно общему методу [170] можно показать, что эта вероятность в соответствии с принятыми допущениями определяется следующей формулой:

где относительный порог; плотность вероятности максимума сигнальной составляющей и шума

весовая функция

частная интегральная функция распределения

Плотность вероятности модуля бокового пика и шума определяется формулой (7.11), в которой надо заменить на на Если боковые пики вероятность правильного обнаружения определяется известной формулой [170]

где весовая функция

Наличие боковых пиков приводит к отличию весовой функции от весовой функции Весовая функция по своей структуре близка к единичному скачку, смещенному относительно начала координат на величину поскольку она является произведением сомножителей вида которые равны 0 при и стремятся к 1 при Если то Когда частная интегральная функция распределения сместится

вправо относительно Поэтому весовая функция также сместится вправо относительно весовой функции Поскольку При любых Равенство возможно только в случае Используя свойства весовой функции можно оценить допустимое значение максимального бокового пика. Допустим, что имеется один боковой пик, значительно больший, чем все остальные, и величина которого равна Выделим из весовой функции функцию где запишем Допустим, что все остальные боковые пики имеют весовую функцию в том интервале значений где существенно отличается от нуля. В этом случае можно считать, что гмакс). Чтобы влиянием максимального бокового пика можно было пренебречь, необходимо иметь на том интервале, где плотность вероятности существенно отличается от нуля. Ширина такого интервала с практической точки зрения для при примерно равна , так как при этом близка к нормальной функции распределения [104]. Точно также ширину плотности вероятности макс можно считать примерно равной . Поэтому боковой пик практически не окажет влияния на Рправ, если разность гмакс 6. Отсюда получаем, что значение максимального бокового пика должно удовлетворять неравенству Например, если то Отсюда следует, что должно быть по крайней мере больше , так как иначе боковой пик начнет оказывать серьезное влияние на уменьшение

Максимизация вероятности правильного обнаружения.

Допустим, что имеет место следующее условие

Максимум вероятности правильного обнаружения (7.10) при условии как показано в работе [36], будет при равенстве боковых пиков, т. е. при Такой результат является естественным и следует из характера решаемой задачи. Чем больше тем правее сдвигается частная интегральная функция распределения Если допустить, что один из боковых пиков станет неравным всем остальным, то весовая функция раздвоится на . Функция относительно сместится влево, вправо. Чем больше гмакс, тем больше сместится вправо и тем меньше будет вероятность правильного обнаружения Рправ» поскольку при больших значениях гмакс именно этот боковой пик будет уменьшать вероятность правильного приема. Поэтому для увеличения Рправ надо уменьшать Но так как условие (7.15) ограничивает минимальное значение боковых пиков, то необходимо стремиться делать их равными.

Условие (7.15) позволяет определить уровень боковых пиков при Полагая согласно (7.15) находим:

где Отметим, что решение не зависит от значения степени в формуле (7.15). Поэтому необходимо уменьшать разброс боковых пиков относительно среднестепенного значения (7.16) и уменьшать это значение.

Оценка вероятности правильного обнаружения.

В соответствии с полученным результатом имеем — максимальная вероятность правильного обнаружения при условии равенства боковых пиков

полученная из а Рправо определяется формулой (7.14). Выражение (7.17) позволяет найти оценку вероятности правильного обнаружения при заданном значении Можно показать, что максимальная вероятность правильного обнаружения приближенно равна

где

Из формулы (7.18) следует, что увеличением можно добиться уменьшения влияния боковых пиков на Рправ, так как функция при определяется в основном экспонентой т. е. слагаемое может быть сделано сколь угодно малым по сравнению с единицей. Следовательно, если модули боковыхпиков близки к своему среднему значению, то увеличивая отношение сигнал/шум можно уменьшить влияние боковых пиков на вероятность правильного обнаружения.