Комплексная огибающая и спектр ДЧ сигнала первого порядка.

На рис. 1.14 представлено распределение произвольного ДЧ сигнала первого порядка. Длительность сигнала равна ширина его спектра Число временных позиций и элементов равно а число частотных полос . В общем случае Для общности положено, что длительность элемента меньше сдвига по времени между соседними элементами. По этой же причине допущено, что ширина спектра элемента меньше сдвига по частоте между элементами Обозначим номера элементов через причем

Сдвиг по времени элемента относительно начала координат равен

Сдвиг несущей частоты элемента относительно частоты равен

где целочисленная функция индексов как и ранее, обозначает номер сигнала. Функция определяет закон частотной манипуляции ДЧ сигнала и изменяется от 1 (минимальное значение) до (максимальное значение).

Обозначим комплексную огибающую элемента через учетом запаздывания элемента во времени на величину и сдвига по частоте на величину комплексная огибающая ДЧ сигнала первого порядка запишется в следующем виде:

Представим комплексную огибающую элемента в виде произведения комплексной амплитуды (комплексная величина, не зависящая от времени) на функцию определяющую форму этого элемента, т. е. пусть

Комплексная амплитуда определяет амплитудную манипуляцию и (или) фазовую манипуляцию а функция определяет «манипуляцию по форме». Для простоты будем называть формой элемента. Подставляя (1.43) в (1.42), имеем

В общем случае ДЧ сигналы первого порядка могут отличаться друг от друга амплитудами фазами формами элементов сдвигами частот, определяемых Каждый из приведенных параметров определяется своей матрицей-строкой, которую будем называть кодовой последовательностью. Манипуляция по амплитуде описывается амплитудной кодовой последовательностью

манипуляция по фазе — фазовой кодовой последовательностью]

манипуляция по частоте — частотной кодовой последовательностью

манипуляция по форме — элементной кодовой последовательностью

Одновременная манипуляция по амплитуде и фазе описывается матрицей-строкой

которую назовем амплитудно-фазовой кодовой последовательностью. В тех случаях, когда используется манипуляция только одного параметра, матрицы-строки будем называть просто кодовыми последовательностями.

Рис. 1.15

Спектр комплексной огибающей элемента согласно (1.13) описывается формулой

Соответственно спектр комплексной огибающей ДЧ сигнала первого порядка равен сумме спектров его элементов, т. е.

Поясним распределение энергии ДЧ сигнала на частотно-временной плоскости. На рис. 1.15 по осям времени и частоты условно изображены комплексная огибающая элемента и модуль ее спектра а штриховкой выделена часть частотно-временной

плоскости, на которой сосредоточена основная доля энергии элемента. Запаздывание по времени согласно (1.40) равно а смещение по частоте согласно Последовательно переходя от элемента к элементу, можно найти распределение энергии всего сигнала на частотно-временной плоскости. Пример такого распределения приведен на рис. 1.14.

В общем случае длительность элемента может отличаться от интервала между соседними элементами по времени Точно так же и ширина спектра элемента может отличаться от сдвига сигнала по частоте Будем считать, что элементы не перекрываются по времени и частоте. В этом случае согласно рис. 1.14 длительность сигнала и ширина его спектра равны

В тех случаях, когда имеем:

База сигнала согласно (1.3) при выполнении равенства (1.53) равна

где

— база элемента. Таким образом, база сигнала в раз больше базы элемента. Если в качестве элемента взят простой сигнал с то из (1.54) имеем:

при получаем

что и было отмечено при кратком описании ДЧ сигнала первого порядка в § 1.2.

Определим долю используемой площади базисного прямоугольника, которую обозначим через Из рис. 1.14 следует, что она равна

Подставляя в это выражение значение базы элемента заменяя базу В согласно (1.52), полагая, что и отбрасывая малые более высокого порядка, получаем

где максимальная база элемента. Если то доля используемой площади базисного прямоугольника мала.

Среди различных методов выбора элементов самым простым является такой, при котором все элементы имеют одинаковую форму,

При этом комплексная огибающая ДЧ сигнала первого порядка согласно (1.44)

а ее спектр в соответствии с (1.51)

где

— спектр формы элемента.

Сравнивая попарно между собой выражения (1.44) и (1.51), (1.60) и (1-61), можно заметить, что они имеют много общего. Например, в аргумент у комплексной огибающей элемента определяется сдвигом по времени, а в (1.61) аргумент у спектра комплексной огибающей этого же элемента — сдвигом по частоте. Аналогично в фазовых множителях (экспоненты в (1.60), (1.61)) сдвиг по времени в (1.60) заменяется сдвигом по частоте в (1.61). Такая общность указанных выражений не является случайной, а определяется структурой ДЧ сигналов первого порядка. Свойства взаимности частотных и временных соотношений у ДЧ сигналов назовем частотно-временной дуальностью. Использование частотно-временной дуальности очень часто позволяет существенно уменьшить объем исследований при решений задач.