12.5. Системы многофазных сигналов

Многофазные сигналы рассмотрены в ряде работ (см., например, [25, 99, 174, 216]). В данном параграфе приведены результаты исследований систем многофазных сигналов [67, 72] с числом фаз

Оценки корреляционных функций многофазных сигналов. Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно а фазы принимают значения

Числа взаимно-простые; номер элемента, символ кодовой последовательности .

ВКФ сигналов по определению (9.25) записывается следующим образом:

Подставляя в (12.88) определение (12.87), находим

Модуль максимального пика равен

где

а

Максимальный боковой пик будет минимальным, если максимальное значение минимально, т. е.

Система минимаксных сигналов, удовлетворяющих условию" (12.93), неизвестна. Приведем найденные системы, близкие к минимаксным. При решении этой задачи используем неравенство, полученное в теории чисел [63] для оценки модуля тригонометрической суммы. Пусть целое число и функция такова, что при некоторой и любом справедливо неравенство

В этом случае имеет место следующее неравенство:

где 6 определяется согласно (12.81). Полагая

замечаем, что в соответствии с (12.92), (12.95)

Оценка первого слагаемого сверху равна А согласно (12.94), что объясняется характером Поэтому

Неравенство (12.98) позволяет свести (12.93) к следующему условию. Так как 6 (12.81) не зависит от фазовой кодовой последовательности то для уменьшения правой части неравенства (12.98) необходимо определить такую последовательность которой А минимальна.

Можно указать следующее решение этой задачи.

Обозначим фазовую кодовую последовательность, равную разности фазовой кодовой последовательности сигнала и циклически сдвинутой фазовой кодовой последовательности сигнала, через

Соответственно фаза разности равна

Введем ненормированную периодическую АКФ последовательности (12.99):

Выразим квадрат левой части неравенства (12.94) через . В соответствии с (12.94), (12.96) имеем

В двойной сумме (12.102) соберем вместе слагаемые, для которых выполняется сравнение

В результате получим

Если то сумма

Если то в соответствии с (12.104), (12.105)

Для из (12.104) получаем

Из (12.105) следует, что для уменьшения необходимо иметь

периодические АКФ с положительными боковыми пиками.

В соответствии с для имеем оценку для ВКФ

Пример системы. Неравенству (12.108) удовлетворяет система кодовых последовательностей символы которой определяются из сравнения второй степени:

где номер последовательности; целые числа простое число. Например, при имеем

Каждая строка (12.110) является кодовой последовательностью Для систем (12.109) при периодическая АКФ (12.101) каждой последовательности имеет нулевые боковые пики. Следовательно, для систем (12.109), (12.110) справедлива оценка (12.108),

Большие системы многофазных сигналов. В работе [72] приведены методы построения систем многофазных сигналов, объем которых Положим в т. е.

где взаимно-простые числа. Определим символы кодовых последовательностей через сравнение степени:

где не равны нулю одновременно; произвольные целые числа: простое число; номер сигнала. Символы лежат в классе наименьших неотрицательных вычетов по модулю числа Любые две последовательности, определяемые сравнением (12.112), отличаются друг от друга хотя бы одним из коэффициентов причем все не равны нулю одновременно. Поэтому максимальный объем системы

Свойства систем сигналов зависят от тех ограничений, которые могут быть предъявлены к коэффициентам В работе [72] этот

Таблица 12.7 (см. скан)

вопрос рассмотрен подробно. Приведем окончательные результаты в виде табл. 12.7 (см. [72], табл. 1).

На первой строке табл. 12,7 приведены данные системы (12.109) объема а во второй и третьей строках приведены данные систем большого объема или больших систем. Как следует из оценок ВКФ табл. 12.7, увеличение объема системы приводит к ухудшению корреляционных свойств.